Question

我需要反转p x p对称带状粗糙矩阵H，它具有7个对角线。 p可能非常高（= 1000或10000）。

H ^ { - 1}可以被认为是带状的，因此，我不需要计算完整的逆矩阵，而是计算它的近似值。（例如，可以假设它有11或13个对角线。）我正在寻找一种不暗示并行化的方法。

是否有可能在线性时间内用R构建这样的算法？

感谢您的帮助。

Answer 1

据我所知，没有线性时间算法。但你并非完全没有希望：

您的矩阵并不是那么大，因此对p < 10K使用相对优化的实现可能相当快。例如，密集 LU分解最多需要O(p^3)，p = 1000，这可能需要不到一秒钟。在实践中，稀疏矩阵的实现应该利用稀疏性来实现更好的性能;
你真的，真的，真的需要计算逆？通常可以通过求解等效线性系统来代替显式计算逆。使用迭代求解器等一些方法（例如conjugate gradient）解决线性系统的效率明显提高，因为源矩阵的稀疏模式得以保留，导致工作量减少;计算逆时，即使你知道可以用带状矩阵进行近似，仍然会有大量的填充（添加非零值）

将所有内容放在一起我建议你为你的矩阵试用R matrix package。尝试所有可用的签名，并确保安装了高性能BLAS实施。还尝试重写你的调用以计算逆：

# e.g. rewrite...
A_inverse = solve(A)
x = y * A_inverse
# ... as
x = solve(A, y)

对于您的目的而言，这可能会更加微妙，但您应该能够做到这一点，正如软件包文档中所建议的那样：

 solve(a, b, ...) ## *the* two-argument version, almost always preferred to
 solve(a)         ## the *rarely* needed one-argument version

如果所有其他方法都失败了，您可能需要尝试更有效的实施：Matlab，Suite Sparse，PetSC，Eigen或Intel MKL。< / p>