使用动态规划选择最近对的算法

Question

我一直试图解决我教授给我的这个问题，但无法做出正确的解决方案。以下是问题

问题： 矩形电路板具有两个平行的侧面，它们之间具有宽度W.在板的上侧有m个端子，在下侧有n个端子（n 1＆lt; U [2]＆lt; ......＆lt; U [m]分别是从板的左端到上侧的m个端子的距离。设L 1＆lt; L [2]＆lt; ......＆lt; L [n]分别是从板的左端到下侧的n个端子的距离。现在，我们需要从上侧的m个端子中选择n个端子，分别通过n个直线段连接到下侧的n个端子，使得n个线段的总长度最小化。下图说明了m = 8和n = 4的问题。

（a）证明在最佳解决方案中，任何两个线段都不会相交。

（b）设计一个O（mn）动态规划算法来解决这个最小化问题。您需要定义子问题，显示归纳公式，初始条件和伪代码。您可以使用d（i，j）表示U [i]和L [j]之间的距离，1≤i≤m，1≤j≤n。 （d（i，j）=）的计算可以省略。

我的方法：

对于上述问题，我的方法是首先制作一个矩阵d（i，j），其中i是底部的终端，j是顶部的终端。 d（i，j）具有距任意两个电路的所有距离。然后迭代每一行，我将找到最小距离并标记相应的终端。但我不确定如果顶部电路都在极右侧，这将会起作用。所以任何人都可以为我提供更好的方法。

Answer 1

我编写了一个使用memoisation的递归动态编程解决方案，复杂度为O（mn），在每个递归级别，我们可以选择加入U []数组中定义的当前点和在L []数组，或者我们可以继续前进而不这样做：

#include<iostream>
#define INF 1e9

using namespace std;

int n, m, d[100][100], dp[100][100];

int solve(int idx1, int idx2){
    if(idx1 > m){
        if(idx2 < n) return INF;
        else return 0;
    }
    if(idx2 > n) return 0;
    if(dp[idx1][idx2] != -1) return dp[idx1][idx2];

    int v1, v2;

    //include current
    v1 = solve(idx1 + 1, idx2 + 1) + d[idx1][idx2];

    //do not include current
    v2 = solve(idx1 + 1, idx2);

    return dp[idx1][idx2] = min(v1, v2);
}

int main(){

    //enter the the distances

    for(int i = 0;i < 100;i++) for(int j = 0;j < 100;j++) dp[i][j] = -1;
    cout << solve(1, 1) << endl;
    return 0;
}

对于你问题的（a）部分，让我们假设2个线段相交，那么我们就不能有最优解，因为如果我们只交换L []数组定义的线段的2个端点然后距离会减少，从而为我们提供更好的解决方案。