Big-Theta：乘以Theta（n）和Theta（n ^ 2）= Theta（n ^ 3）？

Question

如果f（n）=Θ（n）且

g（n）=Θ（n ^ 2），

然后f（n）* g（n）=Θ（n ^ 3）？

Answer 1

问题

从技术上讲，Θ(n)是一组函数，因此我们说f 位于 Θ(n)，而不是f(n)等于Θ(n)。

因此，我们要调查的问题是：

  

让

h(n) = g(n) · f(n)                                           (*)

     

f ∈ ϴ(n)和g ∈ ϴ(n^2)是否意味着h ∈ ϴ(n^3)？

制剂

让我们首先松散地陈述Big-Θ符号的定义

  

<强> f ∈ ϴ(g(n))

     

⇨对于某些正常数k1，k2和n0，以下内容适用：

k1 · |g(n)| ≤ |f(n)| ≤ k2 · |g(n)|, for all n ≥ n0           (+)

我们将在下面使用此定义，但在不失一般性的情况下，假设上述f(n)和g(n)对所有n都是非负的。

解决方案

从上面我们可以说，对于一些正常的常量(c1, c2, n0)和(d1, d2, m0)，以下是

f ∈ ϴ(n):    c1 · n   ≤ f(n) ≤ c2 · n,   for all n ≥ n0        (i)
g ∈ ϴ(n^2):  d1 · n^2 ≤ g(n) ≤ d2 · n^2, for all n ≥ m0        (ii)

现在，常量集(c1, c2, n0)（以及(d1, d2, m0)）不是唯一的; 如果存在这样的集合，则存在无限数量的这样的集合。由于f ∈ ϴ(n)和g ∈ ϴ(n^2)成立，所以存在 do 这样的集合，我们可以在不失一般性的情况下假设我们可以找到一组常量(c1, c2, n0)和(d1, d2, m0)，c1=d1，c2=d2和n0=m0都有效。因此，我们可以将(i-ii)重新声明为：

f ∈ ϴ(n):    c1 · n   ≤ f(n) ≤ c2 · n,   for all n ≥ n0        (I)
g ∈ ϴ(n^2):  c1 · n^2 ≤ g(n) ≤ c2 · n^2, for all n ≥ n0        (II)

对于一些正常数(c1, c2, n0)。

现在，自n > n0 > 0以来，上述不等式(I-II)中的所有字词都是正数，我们可以直接应用(*)：

(I) * (II):

    c1^2 · n^3 ≤ f(n) · g(n) ≤ c2^2 · n^3, for all n ≥ n0      (iii)

现在，让k1 = c1^2和k2=c2^2，并在h(n) = f(n) · g(n) ---之间插入---到(iii)，产生

    k1 · n^3 ≤ h(n) ≤ k2 · n^3, for all n ≥ n0                 (III)

这是(+) h ∈ ϴ(n^3)的定义，因此我们通过以下方式解决了我们的问题：

  

对于h(n)，(*)：f ∈ ϴ(n)和g ∈ ϴ(n^2)表示h ∈ ϴ(n^3)