找到嵌套循环的复杂性

Question

我给出了循环伪代码：

＆＃34; to＆＃34;相当于＆＃34;＆lt; =＆＃34;

sum = 0;
for i = 1 to n
  for j = 1 to i^3
    for k = 1 to j
       sum++

我知道最外面的循环运行n次。 这两个内部循环是否也运行n times？ （制作整个复杂性O(n^3)。

例如n = 5 然后：

1 <= 5        2<= 5
j = 1 <= 1^3  2 <= 2^3 = 8
k=1 <= 1      2 <= 2

对于每个循环，这将持续n次，使其成为n^3？

Answer 1

这似乎是一个棘手的问题，那些内部循环比n更复杂。

外部循环是n。 下一个循环到 i^3。在外循环结束时，我将等于n。这意味着最后的这个循环将在n^3。从技术上讲，它将是(n^3)/2，但我们忽略了，因为这是大O. 第三个循环转到j，但在上一个循环结束时j将等于i^3。我们已经确定i^3等于n^3。

所以看起来像：

• 第一圈：n
• 第二次循环：n^3
• 第3次循环：n^3

它看起来像n^7。我希望别人能够验证这一点。一定要喜欢Big O.

Answer 2

您可以使用Sigma表示法显式展开循环中的基本操作数（让sum++成为基本操作）：

其中

• (i)：Partial sum formula from Wolfram Alpha。
• (ii)：Expanding the expression from Wolfram Alpha。

因此，使用Big-O表示法的复杂性为O(n^7)。