请解释每个计算机科学家应该知道的关于浮点运算的定理4

时间：2016-01-23 11:42:36

标签： floating-point precision floating-accuracy

我正在阅读What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic。我发现了一个有趣的定理:(如果你已经读过这篇文章，你可以跳到最后一段。）

定理4

如果使用公式计算ln（1 + x）：

enter image description here

当0≤x<0时，相对误差至多为5ε。如果用保护数字执行减法，则e <3。 0.1和ln计算到1/2 ulp。

此公式适用于x的任何值，但仅对x＆lt;＆lt; 1，这是在幼稚公式ln（1 + x）中发生灾难性取消的地方。虽然这个公式可能看起来很神秘，但有一个简单的解释，说明它的工作原理。将ln（1 + x）写为

enter image description here。

可以精确计算左手因子，但是当向x添加1时，右手因子μ（x）= ln（1 + x）/ x将遭受大的舍入误差。然而，μ几乎是常数，因为ln（1 + x）≈x。因此稍微改变x不会引入太多错误。换句话说，如果x̄≈x，则计算xμ（x̄）将是xμ（x）= ln（1 + x）的良好近似。是否有x̄的值可以准确计算x̄和x̄+ 1？有;即x̄=（1 enter image description here x）enter image description here 1，因为那时1 +x̄正好等于1 enter image description here x。

根据作者的说法，1 +x̄完全等于1 enter image description here x。这使我感到困惑：当x非常小时，将x加1会导致信息丢失在x的低位。此外，（1 enter image description here x）enter image description here 1将会发生灾难性取消，这将导致许多准确的数字消失。

那么请告诉我，为什么在此定理中1 +x̄完全等于1 enter image description here x？

1 个答案:

答案 0 :(得分：2)

您必须重新阅读x̄和+的定义。 x̄是接近x的值，没有丢失的低位。因此，1 +x̄是精确的，与舍入结果1 + x

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