Question

如何在Coq中证明以下陈述？

forall x: nat,
x >= 1 -> 2 * 2 ^ (x - 1) = 2 ^ x.

我在模块pow_add_r中找到了引理NZPow但由于某种原因我无法使用它。

谢谢，马库斯。

Answer 1

我刚看到你的答案，但这里有一个解释为什么你的初步尝试不起作用，以及如何让它运行：

您无法直接使用Nat.pow_add_r，因为您的目标既不包含形状a ^ (b + c)也不包含a ^ b * a ^ c的字词。你必须帮助Coq识别这种模式。在以下脚本中，我首先将2更改为2 ^ 1，然后使用您提供的引理。

Require Import Arith.

Lemma foo: forall x: nat, x >= 1 -> 2 * 2 ^ (x - 1) = 2 ^ x.
Proof.
intros x hx.
(* I only want to rewrite one occurrence of 2 *)
pattern 2 at 1; rewrite <- (Nat.pow_1_r 2). 
(* now my goal is 2 ^ 1 * 2 ^ (x-1) = 2 ^ x *)
rewrite <- Nat.pow_add_r.
(* now my goal is 2 ^ (1 + (x - 1)) = 2 ^ x 
   since x >= 1, we can rewrite the first term and conclude *)
now rewrite le_plus_minus_r.
Qed.

PS：你可以Require Import Nat如果你不想像我那样为前列词加前缀。

Answer 2

如果有人有兴趣，只需设法制作证明：

Lemma add_exp:
forall n: nat,
n >= 1 -> 2 * 2 ^ (n - 1) = 2 ^ n.
Proof.
destruct n.
- intros H.
  omega.
- intros H.
  assert (H1: n = 0 \/ n >= 1) by omega.
  destruct H1 as [H1 | H1].
  + subst.
    simpl.
    reflexivity.
  + simpl.
    rewrite <- minus_n_O.
    rewrite <- plus_n_O.
    reflexivity.
Qed.

最诚挚的问候，马库斯。

具有相同基数的指数之和

2 个答案: