如何找到递归关系的运行时间？

Question

此重复关系的运行时间为O(nlogn)。由于我是算法新手，我将如何以数学方式显示算法？

T(n) = 2⋅T(n/2) + O(n)
T(n) = 2 ( 2⋅T(n/4) + O(n) ) + O(n)  // since T(n/2) = 2⋅T(n/4) + O(n)

到目前为止，我可以看到，如果我认为n是n = 2m的2的幂，那么我可能会证明这一点，但我没有得到清晰的图像。任何人都可以帮助我吗？

Answer 1

如果你使用主定理，你会得到你期望的结果。

如果您想通过手动＆＃34;来证明这一点，您可以通过假设n = 2m是2的幂（您已经说过）来轻松地看到这一点。这导致你

T(n) = 2⋅T(n/2) + O(n)
     = 2⋅(2⋅T(n/4) + O(n/2)) + O(n)
     = 4⋅T(n/4) + 2⋅O(n/2) + O(n)
     = 4⋅(2⋅T(n/8) + O(n/4)) + 2⋅O(n/2) + O(n)
     = Σk=1,...,m 2k⋅O(n/2k)
     = Σk=1,...,m O(n)
     = m⋅O(n)

自m = log₂(n)起，您可以将其写为O(n log n)。

最后，如果n是2的幂，则无关紧要。 要看到这一点，您可以考虑这一点：您输入n（不是2的幂），并且在输入中添加更多元素，直到它包含n' = 2m元素{{1 }和m ∈ ℕ，即log(n) ≤ m ≤ log(n) + 1是2的最大幂，大于n'。显然n成立，我们知道T（n＆＃39;）在

T(n) ≤ T(n')

其中O(n'⋅log(n')) = O(c⋅n⋅log(c⋅n)) = O(n⋅log(n) + n⋅log(c)) = O(n⋅log(n)) 是c和1之间的常数。

您可以使用小于2的2的最大幂来做同样的事情。这会将您引导至n，我们知道T(n) ≥ T(n'')位于

T(n'')

其中O(n''⋅log(n'')) = O(c⋅n⋅log(c⋅n)) = O(n⋅log(n)) 是c和1/2之间的常数。

总的来说，T（n）的复杂性受到1和T(n'')的复杂性的限制T(n')因此O(n⋅log(n))也是T(n)在O(n⋅log(n))中，即使它不是2的幂。