二进制搜索运行时上限：递归关系

Question

我试图理解典型二进制搜索算法具有运行时间O（log n）的证据。在该证明中，确定了一些输入大小n的通用运行时函数T（n），并且这用于显示大O。我理解其中的大部分内容，但不是最初的步骤之一。

证明首先确定如果n = 0则运行时间是恒定的，否则T(n) <= c + T(floor(n/2))表示某个常数c。这对我来说很有意义。证明然后解释函数T（n）是非递减的，这对我来说也是有意义的。

然后它试图找到一个满足两个不等式的上界（对于n = 0和n！= 0）。它通过使用T（n）不递减以确定T（n）<= T（2 ^{ceil（log n）}）的事实来做到这一点。这是我不理解的部分。这个界限来自哪里？为什么会选择这种特殊的不平等？我无法看到它的起源。

Answer 1

因为我们有：

• n = 2 ^ log（n）
• log n＆lt; = ceil（log n）
• 2 ^（log n）＆lt; = 2 ^（ceil（log n））

我们可以得出T（n）= T（2 ^（log n））＆lt; = T（2 ^（ceil（log n）））使用T不衰减的事实。