Question

让我们考虑以下问题：对于有向非循环图G = (V,E)，我们为每个顶点u定义函数“levels”，如l(u)所示：
1。 l（u）＆gt; =每个u的0 2。如果有从u到v（u - ＆gt; v）的路径，则l（u）＆gt; l（v）
3. 对于每个顶点u，l（u）是满足条件1和2的最小整数。

问题是：
a。证明对于每个DAG，上述功能是唯一定义的，即它是唯一满足条件1,2和3的功能。
b。查找为每个顶点计算此函数的O(|V| + |E|)算法。

以下是基于拓扑排序的可能算法：首先，我们找到G的转置，G^T，定义为G^T = (V,E^T)，其中E^T={(u,v): (v,u) is in E}如果基于邻接列表实现，总共取O(|V|+|E|)： (O(|V|)用于分配和sum for all v in V of |Adj[v]| = O(|E|))。拓扑排序需要Theta(|V|+|E|)，因为它在列表中包含BFS和|V|插入，每个插入O(1)。

TRANSPOSE(G){
    Allocate |V| list pointers for G^T i.e. (Adj'[])
    for(i = 1, i <= |V|, i++){
        for every vertex v in Adj[i]{
            add vertex i to Adj'[v]
        }
    }
}
L = TopSort(G)

Answer 1

一个。证明对于每个DAG，上述函数是唯一定义的，即它是满足条件1,2和3的唯一函数。

也许我错过了一些东西，但这对我来说似乎很明显：如果你把它定义为满足这些条件的最小值，那么怎么会有不止一个？

湾找到一个为每个顶点计算此函数的O（| V | + | E |）算法。

我认为你的拓扑排序是正确的（注意拓扑排序是BFS），但它应该在转置图上执行（反转每个边的方向）。然后拓扑排序中的第一个值得到0，下一个得到1等。例如，对于转置图：

1   2   3
*-->*-->*
        ^
*-------|
1

我已经在拓扑排序中对节点进行了编号。您可以通过使用BFS实现拓扑排序来对节点进行编号。从FIFO队列中提取节点时，从所有可到达节点的indegree中减去1。当该indegree变为0时，在队列中插入它变为0的节点，并将其编号为exracted_node + 1.在我的示例中，编号为1的节点以indegree 0开头。然后，最底部的1从indegree中减去1标记为3的节点，但该indegree将为1，而不是零，因此我们不会将其插入队列中。我们插入2但是因为它的indegree将变为0。

<强>伪代码：

G = G^t
Q = a FIFO queue
push all nodes with indegree 0 in Q
set l(v) = 0 for all nodes with indegree 0
indegree(v) = how many edges are going into node v
while not Q.Empty():
  x = Q.Pop()
  for all nodes v reachable from x:
    if indegree[v] > 0:
      indegree[v] = indegree[v] - 1
      if indegree[v] == 0:
        Q.Push(v)
        l[v] = l[x] + 1

您也可以使用DFS来计算递归返回后每个节点的值，如下所示：

value(v) = 1 + max{value(c), c a child of v}

请注意，DFS不在转置图上，因为我们让递归以拓扑排序顺序处理遍历。

Answer 2

我们假设您的拓扑类型为G。然后您可以按相反的顺序考虑顶点：如果您有u -> v边缘，则v在排序前u之前。

如果您使用此订单循环节点，则如果没有传出边缘l(u) = 0，请l(u) = 1 + max(l(v), for each v such that there is an edge (u, v))。这是最佳的，并为您提供O(|V| + |E|)算法来解决此问题。

证明留作练习。：d

有向无环图的函数定义

2 个答案: