在不使用投影矩阵的情况下总是找到投影但使用一些对称性

Question

我有兴趣找到t2＆＃39;在 t1 ， t1＆＃39; 和 t2 的帮助下。 实际上我在x和y上使用了一些投影矩阵T（这将用于投影图中所示的点x和y），以获得点 t1 和 t2 。我必须再次使用 x＆＃39; 和 y＆＃39; 中的矩阵 T 来查找 t1＆＃39; < / strong>和 t2＆＃39; 。但我不想完全使用矩阵T来做到这一点，只是为了避免大量的乘法。

有没有办法在t1＆＃39;的帮助下找到 t2＆＃39; ？并且在t1和t1＆＃39;的情况下得到结果。

T*x = t1
T*y = t2
t*x' = t1' 

我附上图片以便更好地了解问题。

Answer 1

如果变量之间存在线性关系，则可以在应用T后使用相同的关系，因为作为线性变换的T将保留这些关系。

因此，让我们假设您所建立的关系会验证y - x = y' - x'。此假设与您在评论中撰写的假设一致，因为y - x = (0, 1)和y'- x' = (0, 1)也是如此。

因此，将T应用于等式的两边：T(y - x) = T(y' - x')。现在，使用T保留线性组合（即T(u + sv) = T(u) + sT(v)对所有向量u，v和标量s），我们得到：{{1} }。使用您的变量名称，我们得到：Ty - Tx = Ty' - Tx'。求解t2 - t1 = t2' - t1'会导致t2'。

如果t2' = t2 - t1 + t1'，x，y和x'之间的实际关系恰好不同但仍然是线性的，您可以对其应用相同的推理。