具有特殊情况的循环的时间复杂度（theta）

Question

我无法为某些类型的代码找到theta，例如。

for(i=1;i<=n;i++){
 for(j=i;j>=1;j=j/3){
 ....
 }
}

如何找到上述代码的theta。

如果有人帮助我在一般情况下如何找到它会非常有用。

for(i=1;i<=n;i++){
 for(j=i;j>=1;j=j/K){
 ....
 }
}

Ps：我知道k = 2，即n * logn

先谢谢

Answer 1

从内循环开始。
内循环的每次迭代都需要Theta(log_K(i))次迭代，因为迭代器j从i开始并以指数方式衰减。

所以，你必须将它与外部循环结合起来，这是一个简单的增量循环。
因此，外循环需要：

Theta(log_K(1) + log_K(2) + log_K(3) + ... + log_K(n)) = 
= Theta(log_K(1*2*...*n)) = Theta(log_K(n!)) = 
= Theta(n*log_K(n)) = Theta(nlogn)

The last equality is because log_K(x) = log_2(x) / log_2(K)，但log_2(K)是常数。

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我假设你的意思是for(j=i;j>=1;j=j/3){，而不是for(i=j;j>=1;j=j/3){（i和j开启初始化）