假设您在N个开关的房间，并且在下一个房间里有一个灯泡。只有当某些指定的开关全部打开时，灯泡才会发光。
集
switches =所有开关的集合。 |switches| = N。 required =需要打开以使灯泡发光的开关。 不需要的开关并不重要。
只有进入下一个房间，才能检查灯泡是否发光。您可以打开或关闭某些开关，转到下一个房间检查灯泡，然后重复此过程。让我们称之为ATTEMPT。
假设在最坏情况下有N个开关，找出required个开关集（使用优化策略）所需的最小尝试次数是多少？
例如，
switches = { 1, 2, 3 } required = { 1, 2 } 让我们尝试一种天真的方法：
{ 1, 2 }，指示灯亮起。 （确保不需要开关3）{ 1, 3 }，灯光不亮。 （确保需要开关2）{ 2, 3 }，灯光不亮。 （确保需要开关1）因此，通过3次尝试，我们可以确保required = { 1, 2 }。
这个问题的优化算法是什么？
在最坏的情况下，考虑worst(N)切换，N是最小尝试。你能找到worst(N)
更新：如果您认为worst(N) = N，您能否提供正式证明？
答案 0 :(得分：11)
证明最坏情况需要至少N次尝试
如果有N个开关，则可能有2 ^ N个可能的'必需'组，因为每个开关可以进入或离开'必需'组。
要区分2 ^ N个可能的集合，您可以考虑它，因为我们需要通过摆弄交换机来获得至少N位的信息。如果没有，那么有可能存在多于1套，它们都能适合我们目前所知的信息。
让我们假设有8种可能的配置（N = 3），我们可以选择配置子集并查询“required”配置是否在所选子集中。执行此操作的最佳方法类似于二进制搜索，实现log（2 ^ N）的复杂性，这只是N次尝试。如果我们使用少于3次尝试，我们将留下至少2种配置，我们无法确定哪种配置是正确的，因为每次尝试都将消除一半可能的配置。
回到最初的问题，让我们假设我们到目前为止使用K次尝试K＆lt; N.由于每次尝试都会提供1位信息（是的，它亮起/不亮，它没有点亮），每次尝试都可以消除一半可能的配置，我们将留下2 ^（NK）可能的配置K尝试。
要获得“必需”集合的仅1个不同的可能配置，我们将需要K = N，这将给出2 ^（N-N）= 2 ^ 0 = 1可能的配置。
这给了我们这个问题的下限，因为每次尝试都会提供1位信息（是的，它点亮/不亮，它不会点亮）。因此，我们至少需要N次尝试。
使用不超过N次尝试的可能解决方案
由于“非必需开关无关紧要”，如果我正确解释它，则意味着如果“必需”组外的开关打开，除了“必需”组中的开关外，灯光将会亮起还在上。由于我们有N次尝试使用（并且仍然使其最佳），我们可以使用以下解决方案： 对于每个开关（按顺序），打开除此开关之外的所有其他开关。 检查灯是否已关闭。如果关闭，唯一保持关闭的开关将处于“必需”设置中。
此解决方案将使用N次尝试（即使在更糟糕的情况下），它是最佳解决方案之一（如前所述）。
答案 1 :(得分：2)
假设在WORST CASE中有N个开关，找出所需开关集所需的最小尝试次数（使用优化策略）是什么？
蛮力的方式，检查所有可能的开关组合，直到灯亮，这将是O(2^N)（虽然我们可能会很幸运，并在我们第一次尝试后打开灯）。
通过更优化的搜索，可以在最差O(N)次尝试中找到所需的开关集。以下是始终O(N)的一种方式：
翻开所有N开关：我们知道灯将亮起。
关闭开关1。如果指示灯熄灭，则需要开关1，因此请将其重新打开。如果指示灯亮起，请关闭开关1，因为 这不是必需的。 （使用了一次尝试）。
关闭开关2：如果指示灯熄灭，则需要开关2，然后重新打开。如果灯仍然亮着，请关闭开关2，因为它不是必需的。 （两次尝试使用）。
对其余每个开关重复此检查。 （N尝试使用过。）
N后，我们将在开启位置留下所需开关的集合。正如其他答案/评论中所述，也可以在最佳情况O(log(N))和最差情况O(N)找到所需的开关集：
翻开所有N开关：我们知道灯将亮起。
关闭第一个N/2开关。在灯保持亮起时，不需要这些开关，因此我们可以关闭开关。移至仍然打开的N/2个开关集，然后重复此步骤......
如果灯熄灭，则至少需要其中一个N/2开关：重新打开开关，将组分成两半并重复上一步......
此算法是最差情况O(N)，因为我们可能需要单独检查每个交换机（例如，如果有10个交换机且所需配置为0101010101）。
答案 2 :(得分：-1)
假设我们需要尝试N个开关的每个可能组合。我们可以将二进制数表示为0101，我们想检查每个二进制数。一种天真的方法是依次遍历每个数字：0000（全部关闭），0001（开关4打开），0010（开关3打开），0011（开关3和4打开）。注意如何从0001到0010实际上需要两个步骤来关闭4和3。
一个名为Gray code的更好的算法贯穿每个数字，这样每次只能切换一个数字。顺序是 0000,0001,0011,0010 0110,0111,0101,0100， 1100,1101,1111,1110， 1010,1011,1001,1000。
编辑：我认为这解决了一个稍微不同的问题，即某些开关上的灯需要关闭以使灯亮起。