Question

考虑二进制树，如：

将节点视为开关，最初为OFF，节点之间的边缘为管灯（最初不发光）。当我们打开特定节点时，连接到该节点的所有边（管灯）都会发光。找到需要转动ON的最小数量的开关，以使整个二进制树发光。

例如，如果我打开2,3,4 and 9或2,3,8,9，则所有管灯都会亮起。所以答案是4 [见图]

我在接受采访时被问及这个问题。任何人都可以帮我算法/伪代码吗？无需工作代码。

对于程序员和程序员，请认为输入如下：

n：给定的边数

然后n行以x y形式显示，其中x和y是边缘的两个端点。

根据上图，输入将是：

到目前为止，我已经找到了一些案例：我永远不需要照亮叶子节点

基于上述事实，是否存在简单的递归解决方案？

编辑：如果只给出Root树的input，算法是否会更改[假设树被表示为链表] ??

Answer 1

这是树上的最小顶点覆盖问题（MVC）。你可以用两种方式解决它：

树是一个二分图，MVC问题相当于找到一个可以求解的多项式时间的最大匹配。
通过贪婪算法进行如下操作。任意植树。选择连接到叶子的所有顶点并将它们放在最终的集合中（打开它们）。（这些顶点或叶子应该在最终解决方案中）。删除这些顶点和所有边，并保持顶点连接到它们，并在图的其余部分上使用相同的算法。

以下是该算法工作原理的证明：假设输入是一个大小为＆n的森林。显然，应该打开一个叶子或它的邻居（除了没有连接它的边缘）。所以第一步是正确的。

一旦我们删除了所有叶子和所有叶子的父母，剩下的图形就会出现在森林中的“森林”上。顶点，其中t是原始图形中叶子及其父级的数量。假设我们知道什么是开始时的离开节点。我们执行以下操作来解决O(n)中的问题：

如果我们知道删除那些＆＃39; t＆＃39;之后的叶子是什么？然后我们在T(n) = O(t) + T(n-t)中解决问题，其结果为T(n) = O(n)。为了在删除那些t顶点后找到新的叶子，我们创建一个新的叶子列表。每次我们删除这些t顶点中的任何一个时，我们检查它们是否有一个没有连接到原始叶子的一级邻居，我们将该顶点添加到新的假期列表中。在我们完成删除叶子及其邻居的过程后，我们使用新的叶子列表更新原始叶子列表。因此，在每个步骤中，我们都有叶子列表，因此可以在O(n)中完成。

Answer 2

您可以通过考虑每个子树需要打开的最小开关数来递归地解决它，假设根节点已打开并且还假设它已关闭。

如果根节点已打开，则子节点可以打开或关闭，因此minSwitchesAssumingRootOn递归调用minSwitches。如果根节点已关闭，则子节点必须处于打开状态，以使连接到根节点的边缘处于打开状态，因此minSwitchesAssumingRootOff将递归调用minSwitchesAssumingRootOn。

可以使用备忘录存储子总数以加快速度。 tree.minAssumingOff和tree.minAssumingOn应初始化为-1。

的伪代码：

int minSwitches(tree)
{
    if(tree == null)
        return 0;
    return min(minSwitchesAssumingRootOff(tree),
       minSwitchesAssumingRootOn(tree));
}

int minSwitchesAssumingRootOn(tree)
{
    if(tree == null)
        return 0;
    if(tree.minAssumingOn == -1)
        tree.minAssumingOn = 1 + minSwitches(tree.left) + minSwitches(tree.right);
    return tree.minAssumingOn;
}

int minSwitchesAssumingRootOff(tree)
{
    if(tree == null)
        return 0;
    if(tree.minAssumingOff == -1)
        tree.minAssumingOff = minSwitchesAssumingRootOn(tree.left) + 
            minSwitchesAssumingRootOn(tree.right);
    return tree.minAssumingOff;
}

Answer 3

这个问题和leetcode上的这个问题很相似https://leetcode.com/problems/binary-tree-cameras/ 我的解决方案

// -1 -> need cam 
//  0  -> has cam
//  1  -> covered by child

int cam;
class Solution {
public:
    int solve(TreeNode* root){
        if(root==NULL){
            return 1;
        }
        int l = solve(root->left);
        int r = solve(root->right);
        if(l==-1 || r==-1){    //if any child node node need a cam this node must have a cam
            cam++;
            return 0;
        }
        if(l==0 || r==0){    //if any child node has cam this node doesn't need a cam its covered by child
            return 1;
        }
        return -1;     //else its need a cam
        
    }
    int minCameraCover(TreeNode* root){
        cam=0;
        if(solve(root)==-1){  //if root need a cam
            cam++;
        }
        return cam;
    }
};

找到要打开以照亮二叉树的最小开关数

3 个答案: