IEEE舍入计划

Question

我正在尝试从以下来源On fast IEEE Rounding

了解IEEE舍入的功能

任何人都可以解释一下这个等式吗？什么是修复意味着什么？什么是地板和天花板功能？我尝试过IEEE 754，但它没有提到这些

Answer 1

让我们从floor（）和ceiling（）开始（我将从这里开始称之为“ceil”）。这些是将实数映射到整数的基本数学函数。形式上，它们的定义如下：

floor(x) = max { n in Z | n <= x }
ceil(x) = min { n in Z | n >= x }

更明显地，x的最大值是不大于x的最大整数，并且ceil是不小于x的最小整数。一些例子：

• floor(1.5)是1。
• ceil(2)是2。
• floor(-3.14159)是-4。

详情请咨询wikipedia。

好的，现在让我们继续四舍五入。每个实数x 是一个整数（在这种情况下为floor(x) == x == ceil(x)），或位于两个整数floor(x) < x < ceil(x)之间。在数学上，“舍入规则”是一个函数f，它将实数映射到具有以下属性的整数：对于每个实数x，f(x) = floor(x)或f(x) = ceil(x)。这为在任何情况下选择可能的结果留下了很大的灵活性，因此存在许多不同的舍入规则。以下是一些示例（these certainly aren't exhaustive）：

• floor( )和ceil( )均为舍入规则。

• “向零舍入”：简单地丢弃输入的小数部分。这也称为截断，通常被编写为名为trunc( )的数学函数。如果trunc(x) = ceil(x)，则可以定义为x < 0，否则定义为trunc(x) = floor(x) *。例如，trunc(1.5)为1，trunc(-2.7)为-2。

• “从零开圆”或“向无限圆”：这是截断的“对立面”;如果x < 0结果为floor(x)，则结果为ceil(x)。此规则没有通用的数学名称，因此我将其称为round-away( )。示例：round-away(1.001)为2，round-away(-0.7071067812)为-1。

• “round to odd”：如果输入x是整数，则返回x。否则，请查看floor(x)和ceil(x)。因为它们是连续的整数，其中一个是偶数，另一个是奇数。归还奇怪的那个。一些示例：round-to-odd(1.001)为1，round-to-odd(-2.001)为-3，round-to-odd(4.0)为4.0。

• “舍入到最近，连接到偶数”：这是IEEE-754的默认舍入模式。我会称之为round( )，但该名称（相当不正常）用于C库中的不同舍入规则，我不想让所有人感到困惑，所以我称之为rne( )而是在这里。这里的想法如下：如果有一个最接近x的唯一整数，则返回该整数。否则，x恰好位于两个整数之间;其中一个是偶数，另一个是奇数。归还偶数。

这最后一条规则可以写成“RU with fix-up”，尽管从数学上来说这是一种奇怪的思考方式。更常见的是，它的正式定义或多或少如下：

rne(x) = floor(x)  if x - floor(x) < 0.5
         floor(x)  if x - floor(x) = 0.5 and floor(x) is even.
         ceil(x)   if x - floor(x) = 0.5 and floor(x) is odd.
         ceil(x)   if x - floor(x) > 0.5

此rne( )规则的一些示例：rne(0.5)是0。 rne(-1.5)是-2。 rne(1.3)是1。 rne(1.8)为2。

好的，所以这就是讨论四舍五入到整数值。与IEEE-754中的舍入到最近的浮点数有什么关系？舍入规则不仅可以用于舍入到整数，还可以用于舍入到任意固定数量的数字，只需将其缩放b**n因子，其中b是基数。选择表示和n，以便数字的所需舍入点以单位位置（LSB）结束。当然，我们实际上并不需要缩放数字并取消缩放结果;相反，我们只需将舍入规则中的ceil(x)和floor(x)替换为x的值向下舍入，最多可达到所需的位数。

[*]我在这里定义实数上的数学函数，而不是给出IEEE-754实现。因此，无需处理-0，inf或nan等边缘情况。