我的函数f（n）定义如下：
f（n）=（n-1）（n + 1）lg（n + 5）/（n + 3）
这里，lg是log 2 。我想确定这个函数的big-O，big-Ω和big-Θ值。我将如何接近这个？
谢谢！
答案 0 :(得分：1)
让我们从简化表达开始：
f（n）=（n-1）（n + 1）lg（n + 5）/（n + 3）
=（（n 2 - 1）lg（n + 5））/（n + 3）
现在，让我们假设添加常数在那里。如果我们删除这些常量，我们得到这个函数g（n）：
g（n）= n 2 lg n / n = n lg n
由于我们不希望这些常数在长期内产生太多差异，因此猜测这个函数是Θ（n log n）是合理的。我们可以通过取f（n）/ n log n的极限来证明这一点，因为n倾向于无穷大。如果我们得到非零有限值，那么我们就知道f（n）=Θ（n log n）。
让我们试一试！
lim n→∞ f（n）/ n log n
= lim n→∞（（（n 2 - 1）lg（n + 5））/（n + 3））/ n lg n
= lim n→∞（（n 2 - 1）lg（n + 5））/ n lg n（n + 3）
=（lim n→∞（n 2 - 1）/ n（n + 3））（lim n→∞（ lg（n + 5）/ lg n）
=（lim n→∞（n 2 - 1）/（n 2 + n））（lim n →∞（lg（n + 5）/ lg n）
这两个限制都是∞/∞类型的简并形式，因此我们可以使用l'Hopital规则并将其替换为其衍生物：
lim n→∞（n 2 - 1）/（n 2 + n）
= lim n→∞（2n / 2n + 1）
= 1
和
lim n→∞ lg（n + 5）/ lg n
= lim n→∞（1 /（n + 5））/（1 / n）
= lim n→∞（n /（n + 5））
= 1
因此，我们得到了
（lim n→∞（n 2 - 1）/（n 2 + n））（lim n→ ∞（lg（n + 5）/ lg n）
= 1
因此，当n变为无穷大时，f（n）/ n lg n的比率倾向于1，因此我们根据需要得到f（n）=Θ（n log n）。因此，我们还得到f（n）= O（n log n）和f（n）=Ω（n log n）。我们还有f（n）~n log n，这是一个更强大的主张。
希望这有帮助！