随机搜索算法的复杂性

Question

在长度为a的排序数组n上考虑以下随机搜索算法（按递增顺序）。 x可以是数组的任何元素。

size_t randomized_search(value_t a[], size_t n, value_t x)
    size_t l = 0;
    size_t r = n - 1;
    while (true) {
        size_t j = rand_between(l, r);
        if (a[j] == x) return j;
        if (a[j] < x) l = j + 1;
        if (a[j] > x) r = j - 1;
    }
}

从x中随机选择a时，此功能的Big Theta complexity（下限和上限）的期望值是多少？

虽然这似乎是log(n)，但我进行了一项指令计数实验，发现结果的增长速度比log(n)快一点（根据我的数据，甚至是(log(n))^1.1更好地适应结果）。

有人告诉我，这个算法有一个精确大的theta复杂度（显然log(n)^1.1不是答案）。那么，您能否将时间复杂性与您的方法一起证明呢？感谢。

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更新：我的实验数据

log(n)符合mathematica的结果：

log(n)^1.1符合结果：

Answer 1

如果您愿意切换到计算三向比较，我可以告诉您确切的复杂性。

假设密钥位于位置i，我想知道与位置j的预期比较数。我声称，当且仅当它是i和j之间的第一个位置进行检查时，才检查位置j。由于每次都是随机均匀地选择枢轴元素，因此概率为1 /（| i - j | + 1）。

总复杂度是对sum_ {j = 1} ^ n 1 /（| i - j | + 1）的i＆lt; - {1，...，n}的期望，这是

  sum_{i=1}^n 1/n sum_{j=1}^n 1/(|i - j| + 1)
= 1/n sum_{i=1}^n (sum_{j=1}^i 1/(i - j + 1) + sum_{j=i+1}^n 1/(j - i + 1))
= 1/n sum_{i=1}^n (H(i) + H(n + 1 - i) - 1)
= 1/n sum_{i=1}^n H(i) + 1/n sum_{i=1}^n H(n + 1 - i) - 1
= 1/n sum_{i=1}^n H(i) + 1/n sum_{k=1}^n H(k) - 1  (k = n + 1 - i)
= 2 H(n + 1) - 3 + 2 H(n + 1)/n - 2/n
= 2 H(n + 1) - 3 + O(log n / n)
= 2 log n + O(1)
= Theta(log n).

（log表示自然日志。）请注意低位项中的-3。这使得看起来比较的数量在开始时比对数增长得快，但是渐近行为表明它会趋于平稳。尝试排除小n并重新设置曲线。

Answer 2

假设rand_between在恒定时间内从均匀概率分布实现采样，该算法的预期运行时间为Θ（lg n ）。证明的非正式草图：rand_between(l, r)的预期值为(l+r)/2，即它们之间的中点。所以每次迭代都要跳过一半的数组（假设大小是2的幂），就像二次搜索的单次迭代一样。

更正式地说，借鉴quickselect的分析，观察当你选择一个随机中点时，它将在¼ n 和¾ n之间的一半时间< / em>的。左或右子阵列都不具有多于3/4 n 元素。另一半的时间，都没有超过 n 元素（显然）。这导致了重现关系

T(n) = ½T(¾n) + ½T(n) + f(n)

其中f（ n ）是每次迭代中的工作量。从两侧减去½T（n），然后将两边加倍，我们有

½T(n) = ½T(¾n) + f(n)
T(n) = T(¾n) + 2f(n)

现在，因为2f（ n ）=Θ（1）=Θ（ n ᶜlog⁰ n ）其中 c < / em> = log（1）= 0，它遵循主定理T（n）=Θ（ n ⁰lg n ）=Θ（lg 名词的）。