Question

我有一个循环加权有向图，目标是去除路径中存在的循环。

例如：路径如下，

from | to | weight
------------------
a    -> b | 0.5
a    -> c | 0.5
c    -> e | 1
b    -> d | 1
d    -> a | 0.25
d    -> f | 0.75

图中的循环由路径d - >引入。一个。任何人都可以建议一个算法去除周期d - ＆gt; a通过调整其他节点的权重。得到的非循环图在将权重传递给末端节点e，f。

方面是等效的

谢谢，的Vivek

Answer 1

Sleator-Tarjan将此称为非循环流问题，并在first paper on dynamic trees的第389页描述O（m log n）-time解决方案。如果您不需要最快的算法，请重复使用深度优先搜索来查找一个流程周期，然后反向发送取消一个或多个弧的最小流量。

在你的图表上：

a    -> b | 0.5
a    -> c | 0.5
c    -> e | 1
b    -> d | 1
d    -> a | 0.25
d    -> f | 0.75

DFS找到一个周期a -0.5> b -1> d -0.25> a。在同一周期发送-0.25。

a    -> b | 0.5 - 0.25 = 0.25
a    -> c | 0.5
c    -> e | 1
b    -> d | 1 - 0.25 = 0.75
d    -> f | 0.75

我们删除

d    -> a | 0.25 - 0.25 = 0

流量是非循环的，所以我们停止了。

Answer 2

从你的评论到大卫的答案以及图表的权重，我认为权重是从一个节点移动到另一个节点的概率（或从一个节点移动到另一个节点的单位的百分比，无论哪种方式数学是一样的）。如果是这样，可以将其建模为Markov chain，更具体地说，建模为absorbing Markov chain。但首先，我们需要添加两条路径来适应形式定义：

e -> e | 1.0
f -> f | 1.0

我不确定您是否需要与此类似的多个图形的通用算法，否则这是您需要解决的唯一图形。我将概述这个特定图形所涉及的数学，并希望您可以在需要时将其推广到算法中。

_{算法非常麻烦，请按照absorbing Markov chain链接进行操作。}

首先，在处理马尔可夫链时，我们需要邻接矩阵，通常称为状态转移矩阵：

  |  a     b     c     d  |  e     f
--+-----------------------+------------
a |  0     0.5   0.5   0  |  0     0
b |  0     0     0     1  |  0     0
c |  0     0     0     0  |  1     0
d |  0.25  0     0     0  |  0     0.75
--+-----------------------+------------
e |  0     0     0     0  |  1     0
f |  0     0     0     0  |  0     1

矩阵的左上部分是瞬态（非结束）状态之间的转换（由 Q 表示），右下角是吸收状态。右上角将由 R 表示。

基本矩阵，计算为 N =（ I - Q ）^-1。而吸收概率（即给定无限时间，将在每个吸收状态中结束的百分比）给出为 B = NR 。使用我最好的ASCII矩阵，该图的数字是：

         +-          -+             +-    -+  
         | 8  4  4  4 |             | 4  3 |
         | 2  8  1  8 |             | 1  6 |
N = (1/7)| 0  0  7  0 |    B = (1/7)| 7  0 |
         | 2  1  1  8 |             | 1  6 |
         +-          -+             +-    -+

读取 B 矩阵的顶行，从状态a开始，有一个4/7（约0.5714）结束状态e的机会，和3/7（约0.4286）结束状态f的机会。您可以忽略其他三行，因为这些是在状态b，c和d中启动时的概率。

因此，如果你想要一个等效图，其中结束状态e和f的最终机会是相同的，但没有循环，你可以删除d - ＆gt;路径，并使用以下权重：

a -> b | 0.4286
a -> c | 0.5714

将加权直接循环图转换为等效非循环图

2 个答案: