Question

函数的复杂度（Θ版本）是什么

<磷>氮
Σ= 3 * i ^3/2
I = 1

我认为它只是Θ（n ²），因为n ²比常数或平方根增长得更快，至少这是直觉意义上的我脑海。有没有办法正式证明这一点？

Answer 1

让我们考虑更简单的Sum[i=1..n](i^(3/2))。

让我们考虑以下积分Integrate[i=(k-0.5)..(k+0.5)](i^(3/2))，其中k是正整数。

  Integrate[i=(k-0.5)..(k+0.5)](i^(3/2))
= 2/5 * ((k+0.5)^(5/2) - (k-0.5)^(5/2))

可以证明对于所有正整数k：

k^(3/2) < 2/5 * ((k+0.5)^(5/2) - (k-0.5)^(5/2))

当我们试图通过平方，扩展和分组来解决直到平方根消失时，我们将得到40*k^6 - 0.024*k^4 + 0.008*k^2 + 0.0001 = 0，这显然没有真正的解决方案。代入0表示RHS> 0。 LHS。

（我不知道是否有更好的方法，但上面是一种证明方法）。

导致：

k^(3/2) < Integrate[i=(k-0.5)..(k+0.5)](i^(3/2))

我们可以从中得出：

Sum[i=1..n](i^(3/2)) < Integrate[i=(0.5)..(n+0.5)](i^(3/2))

表示所有正整数n。

我们知道：

Integrate[i=(0.5)..(n+0.5)](i^(3/2)) = 2/5 * ((n+0.5)^(5/2) - 0.5^(5/2))

所以：

Sum[i=1..n](i^(3/2)) < 2/5 * ((n+0.5)^(5/2) - 0.5^(5/2)) Sum[i=1..n](i^(3/2)) = O(n^(5/2))

使用上面的相同技巧，让我们考虑整合0.75 * Integrate[i=(k-0.5)..(k+0.5)](i^(3/2))，其中k是一些正整数：

0.75 * Integrate[i=(k-0.5)..(k+0.5)](i^(3/2)) = 0.75 * 2/5 * ((k+0.5)^(5/2) - (k-0.5)^(5/2)) = 0.3 * ((k+0.5)^(5/2) - (k-0.5)^(5/2))

可以证明对于所有正整数k：

k^(3/2) > 0.3 * ((k+0.5)^(5/2) - (k-0.5)^(5/2))

证明可以按照前面部分所示的类似方式进行。或者你可以通过显示k = 1的单调性和测试来做到这一点，这是域中允许的最小数量。

由此，我们可以到达：

Sum[i=1..n](i^(3/2)) > 0.75 * Integrate[i=(0.5)..(n+0.5)](i^(3/2))

表示所有正整数n。

我们知道：

Integrate[i=(0.5)..(n+0.5)](i^(3/2)) = 0.3 * ((n+0.5)^(5/2) - 0.5^(5/2))

所以：

Sum[i=1..n](i^(3/2)) > 0.3 * ((n+0.5)^(5/2) - 0.5^(5/2)) Sum[i=1..n](i^(3/2)) = Omega(n^(5/2))

因此，Sum[i=1..n](i^(3/2)) = Theta(n^(5/2))

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根n ^ 3函数之和的Θ复杂度是多少？

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