Question

我得到两个包含自然数A和B的数组，我需要找到最小化和A [i] * | B [i] -B [k] |的索引k。从i = 0到n-1。（两个数组的长度相同）它在O（n ^ 2）中显然很容易，我只计算0和n-1之间所有k的所有和，但我需要更好的运行时复杂度。

有什么想法吗？谢谢！

Answer 1

您可以在时间O（nlogn）中执行此操作，首先根据B中的值对两个数组进行排序，然后执行单次扫描。

一旦数组被排序，则如果i> k则B [i]> = B [k]并且如果i <= k则B [i] <= B [k]，因此可以将该和重写为：

sum A[i] * abs(B[i]-B[k]) = sum A[i]*(B[i]-B[k])  for i=k..n-1
                            + sum A[i]*(B[k]-B[i])  for i=0..k-1

    = sum A[i]*B[i] for i=k..n-1
      - B[k] * sum A[i] for i=k..n-1
      + B[k] * sum A[i] for i = 0..k-1
      - sum A[i]*B[i] for i = 0..k-1

您可以预先计算时间O（n）中的所有总和，然后让您在O（n）中的每个位置评估目标总和，并选择k的值，以获得最佳分数。

Answer 2

我相信我能做到的就是O（n log n）。

首先，对B数组进行排序，将相同的排列应用于A数组（并记住排列）。这是O（n log n）部分。由于我们对所有i进行求和，因此对A和B数组应用相同的置换不会改变最小值。

使用排序的B数组，算法的其余部分实际上是O（n）。

对于每个k，定义一个数组C _k [i] = | B [i] - B [k] |

（注意：我们实际上不会构造C _k ...我们只是将它用作概念以便于推理。）

观察我们试图最小化的数量（超过k）是A [i] * C _k [i]的总和。让我们继续，给它一个名字：

定义：S _k =ΣA[i] * C _k [i]

现在，对于任何特定的k，C _k是什么样的？

嗯，C _k [k] = 0，显然。

更有趣的是，由于B数组已经排序，我们可以摆脱绝对值符号：

C _k [i] = B [k] -B [i]，0 <= i <1。 ķ
C _k [i] = 0，i = k
C _k [i] = B [i] -B [k]，对于k <我＆lt; Ñ

让我们再定义两件事。

定义：T _k =ΣA[i] 0 <= i

定义：U _k =ΣA[i]对于k <我＆lt; Ñ

（即，T _k是A的第一个k-1个元素的总和.U _k是除A的前k个元素之外的所有元素的总和。）

关键观察：给定S _k，T _k和U _k，我们可以计算S _{k + 1 < / sub>，T _{k + 1}，并且U _{k + 1}在恒定时间内。怎么样？}

T和U很容易。

问题是，我们如何从S _k到S _{k + 1}？

当我们转到C _{k + 1}时，考虑C _k会发生什么。我们简单地将B [k + 1] -B [k]添加到从0到k的C的每个元素，并且我们从C的每个元素中减去相同的量，从k + 1到n（证明这一点）。这意味着我们只需要添加T _k *（B [k + 1] - B [k]）并减去U _k *（B [k + 1] - B [k]）从S _k到S _{k + 1}。

代数... S _k的前k个项只是A [i] *（B [k] - B [i]）的0到k-1之和。 / p>
S _{k + 1}的前k项是A [i] *（B [k + 1] - B [i]）
这些之间的差异是（A [i] *（B [k + 1] - B [i]） - （A [i] *（B [k]）的从0到k-1的和。 - B [i]））。分解A [i]项并取消B [i]项以得到A [i] *（B [k + 1] - B [0]的0到k-1之和k]），它只是T _k *（B [k + 1] - B [k]）。

类似于S _k的最后一个n-k-1项。

因为我们可以在线性时间内计算S ₀，T ₀和U ₀，我们可以从S _开始k到S _{k + 1}在恒定时间内，我们可以计算线性时间内的所有S _k。所以，记住最小的，你就完成了。

使用排序排列的倒数来获取原始数组的k。

Answer 3

这是O（NlogN）解决方案。示例

A 6 2 5 10 3 8 7
B 1 5 4 3  6 9 7

1）首先将两个数组排序为增加B的顺序.A＆＃39; s元素仅与B绑定。排序后，我们得到

 A  6 10 5 2 3 7
 B  1 3  4 5 6 7

因为B现在正在按顺序排列。我们有

n-1
sum A[i]|B[i]-B[k]| 
i=0

 k-1                 n-1
=sum A[i](B[k]-B[i])+ sum A[i](B[k]-B[i])
 i=0                 i=k+1
      k-1       n-1          k-1           n-1
=B[k](sum A[i] -sum A[i]) - (sum A[i]B[i]- sum A[i]B[i])
      i=0      i=k+1        i=0           i=k+1

2）我们计算数组A的前缀和sumA = 0 6 16 21 23 26 33

          i=e
With sumA sum A[i] can be calcuated in O(1) time for any s and e. 
          i=s

出于同样的原因，我们可以计算A [i] B [i]的前缀和。因此，对于每个k，要检查其值，只需要O（1）时间。总时间复杂度为O(NlogN)+O(N).

给定两个数组找到最小化和A [i] * | B [i] -B [k] |的索引k

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