Question

这是一些编程竞赛的问题（我不确切知道它属于哪个编程竞赛，我在一年前看到过）。问题如下：

有N栋建筑物，每栋建筑物都有自己的高度（不一定是唯一的）

{h1,h2,h3,...,hn}

我们必须让所有相同高度的建筑物都说h。

允许的操作是：

我们可以为建筑增加一些高度。
我们可以从建筑物中移除一些高度。

每个建筑物都需要相关费用来移除/添加单位高度。假设c（i）是移除/增加建筑物单位高度的成本。各自的费用如下：

{c1,c2,c3,...,cn}

假设我们有足够的高度（单位），我们必须找到使所有建筑物具有相同高度所需的最低成本。

输入：第一行将指定N建筑物的数量。（1 <= N <= 100000）。第二条输入线将用于建筑物的高度。

{h1,h2,h3,...,hn}

第三行输入将给出成本数组

 {c1,c2,c3.....,cn}

输出

输出将只是所需的最低成本。

示例输入：

示例输出

说明：将所有建筑物的高度设为1，因此费用为 10 *（2-1）+ 1000 *（1-1）+ 1 *（3-1）即12。

我知道蛮力方法是O（n ^ 2）。

我认为的蛮力方法如下：

无论常见高度是多少，都必须来自

 {h1,h2,h3,....,hn}

即。 h必须等于h（i）中的任何一个。现在检查每个h（i）我可以用O（n ^ 2）计算答案。

可以更快地完成吗？

Answer 1

O（n log（n））解决方案：

设h（i）表示第i个建筑物的高度，让c（i）表示第i个建筑物的成本。

步骤1：按照相应建筑物的高度按降序对建筑物进行分类。将这种布置称为P.即P（1）是最大建筑物的高度，P（n）是最小建筑物的高度。这需要O（n log n）。
步骤2：总结建筑物的所有高度。设S表示这个总和。此步骤需要O（n）时间。
步骤3：如果我们将高度低于第i个建筑物的所有建筑物的高度设置为等于SORTED ARRAY P中第i个建筑物的高度，即Cost_of_Increase（i），则表示Cost_of_Increase（i）表示成本。如果我们使建筑物P（i-1），P（i-2），...... P（n）等于P（i）建筑物的高度。

现在使用此递归：

Cost_of_Increase（i）= Cost_of_Increase（i-1）+（h（i）-h（i-1））*（第（i-1）个建筑物到第P（n）个建筑物的成本总和）

请注意，在上述递归中，i和i-1的顺序是根据P的顺序，即排序顺序。

现在让Cost_of_decrease（i）表示如果我们使所有高度超过第i个建筑物的建筑物等于SORTED ARRAY P中第i个建筑物的高度，即Cost_of_decrease（i）如果我们建造建筑物P（1），P（2），... P（i-2），P（i-1）等于P（i）建筑物的高度。

为此使用此递归：

Cost_of_decrease（i）= Cost_of_decrease（i + 1）+（h（i + 1）-h（i））*（P（1）建筑物到P（i-1）建筑物的成本总和）

因此，使所有建筑物的高度等于P（i）建筑物的总成本为：

Cost_of_Increase（i）+ Cost_of_decrease（i）。

一旦我们对所有建筑物都有这个，只需检查成本最小的那个，这就是答案。

希望它有所帮助！

Answer 2

在算法结束后，对所有建筑物的高度执行ternary search或使用hill climbing算法。对于每个高度，您可以计算线性时间的成本，因此总体复杂度将为O（N * log（H）），其中H是可能的最大结果高度。

编辑：这是一个适合你的伪代码片段（这是一种类似爬坡的方法）

  typedef long long ll;
  ll get_cost(int h) {
    if (h < 0 || h > MAX_HEIGHT) {
      return MAX_VAL; // some unreachable positive value
    }
    ...
  }


  int main() {
    ...
    int current = 0;
    int leftp, rightp;
    ll cv, lv, rv;
    ll step = SOME_BIG_ENOUGH_VALUE;
    while (step > 0) {
      leftp = current - step;
      rightp = current + step;
      cv = get_cost(current);
      lv = get_cost(leftp);
      rv = get_cost(rightp);
      if (cv <= rv && cv <= lv) {
        step /= 2;
      } else if (lv < rv) {
        current = leftp;
      } else {
        current = rightp;
      }
    }
    ...
  }

以最低成本找到建筑物的共同高度

2 个答案: