Question

我今天正在爱尔兰读一本计算机科学杂志，它有一个回答这个问题的竞赛。任何人都可以帮我解决它。

问题所在。

给定x1 ......，xn，确定应激活EMP的时间摧毁最大数量的外星人。

实施例。假设n = 4且x1 ... x4 = 1,10,10,1。那么最好的解决方案就是是在第3和第4分钟激活EMP。在第3分钟，它摧毁 min（10,3 ^ 2）= 9个外星人。然后在第4分钟，它摧毁min（1,1 ^ 2）= 1外星人。这个总共有10个外星人。

2个问题

（a）设S（j）表示为子问题销毁的外国人的最大总数由外国人组成，仅在前j分钟到达。给出一个递归公式对于S（j）。另外，记下基本案例。（提示：对于S（j），你总是激活 EMP在第j分钟。假设先前的激活发生在第i分钟。尝试我的所有可能性并采取最大的。）

（b）为此问题提供动态编程算法。分析时间和算法的空间复杂度。

要点： - 一群外星人在n分钟内到达。在第i分钟，xi外星人到达。基于遥感数据，您事先知道这个序列x1 ... xn。

你可以使用电磁脉冲（EMP），它可以摧毁一些外星人EMP的功率取决于允许充电的时间起来。为了确保这一点，如果自上次使用EMP以来已经过了j分钟，那么能够摧毁外星人。

EMP只会摧毁外星人在其被激活的确切时刻到达。在换句话说，它不会摧毁任何早晚出现的外星人。

因此，如果它在第k分钟使用，并且自从之前使用以来已经是j分钟，那么它会破坏min（xk，j2）外星人（即，无论xk或j2哪个更小）。 / p>

每次使用后，EMP将完全耗尽。我们还假设EMP开始关闭（在第0分钟）完全耗尽。

Answer 1

（a）提示真的让它离开了。显然S(0) = 0和S(1) = 1。我们有：

S(j) = max{S(i) + min(x[j], (j - i)^2) : 0 <= i < j}。这真的只是做了提示所说的。以下是它将如何运行您的示例：

1 10 10 1
S(0) = 0
S(1) = 1
S(2) = max{S(0) + min(x[2], (2-0)^2), S(1) + min(x[2], (2 - 1)^2)} =
     = max{0 + 4, 1 + 1} 
     = 4
S(3) = max{S(0) + min(x[3], (3 - 0)^2), S(1) + min(x[3], (3-1)^2), S(2) + min(x[3], (3-2)^2)}
     = max{0 + 9, 1 + 4, 4 + 1}
     = 9
S(4) = max{S(0) + min(x[4], (4 - 0)^2), ..., S[3] + min(x[4], (4-3)^2)}
     = max{0 + 1, ..., 9 + 1}
     = 10

（b）我已经解决了上述问题。只需将S作为数组。由于每个S(i)的计算需要迭代所有j < i，因此每个S(i)需要O(n)次，因此整个算法为O(n^2)。

算法动态程序

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