非交叉线段，同时最小化累积长度

Question

我想找到一个更好的算法来解决以下问题：

2D中有 N 起点（紫色）和 N 目标点（绿色）。我想要一种算法，通过线段（棕色）将起点连接到目标点，而不会使这些段交叉（红色），同时最小化所有段的累积长度。

我在C ++中的第一个努力是置换所有可能的状态，找到无交叉状态，以及总段长度 O（n！）的状态。但我认为必须有更好的方法。

有什么想法吗？或者搜索好的关键词？

Answer 1

这是Minimum Euclidean Matching in 2D。该链接包含有关此问题的已知内容的参考书目。鉴于您希望最小化总长度，非交叉约束是多余的，因为交叉的任何一对段的长度可以通过非交叉来减少。

Answer 2

您可以选择随机连接，然后每次删除一个交叉（实际上更改其端点的连接），此算法在有限步骤中工作并完成。也许你说切换十字架导致新的十字架，无论如何，每次通过切换一个十字架，你将最小化你的答案的总长度，这种方式不能是无限的（因为线的总长度是有限的）。实际上在O（F * n ^ 2）中工作F= sum of all line segments * power of 10（使其为整数）。这个O非常乐观，我认为如果你尝试这个简单的算法它会工作正常。当然，它一般比蛮力更好。

Answer 3

看起来你可以使用BSP-type算法。

Answer 4

使用此算法的订单 O（n ³ ）：

  

Hungarian algorithm是一种组合优化算法   这解决了多项式时间内的赋值问题。

它有什么用？那么，它只会找到最小累积长度。但...

当总长度最小时，没有交叉点。

因此，@ qq3表示交集约束是冗余的，并且在删除此约束后，它可以减少从 O（n！）到 O的顺序（n ^{3 < / SUP>）}