Question

我遇到了一个问题。

有N堆石头，其中第i堆有xi石头。 Alice和Bob玩下面的游戏：

a. Alice starts, and they alternate turns.

b. In a turn, a player can choose any one of the piles of stones and divide the stones in it into any number of unequal piles such that no two of the piles you create should have the same number of stones. For example, if there 8 stones in a pile, it can be divided into one of these set of piles: (1,2,5), (1,3,4), (1,7), (2,6) or (3,5). 

c. The player who cannot make a move (because all the remaining piles are indivisible) loses the game.

考虑到首发阵容，假设两名球员都发挥最佳状态，谁能赢得比赛？

最重要的陈述 - “如果爱丽丝赢了，那么答案应该是Alice。答案是鲍勃。”

现在我的问题是，如果我们最初只有一堆8块石头，那么实际的答案是鲍勃。但据我所知，如果爱丽丝将最初的8块石头分成两堆7和1，即， 8-大于7 + 1 如果爱丽丝玩最好的策略（最佳），鲍勃就无法获胜。答案是鲍勃。有人可以帮助我找出为什么答案是鲍勃？我认为上面标注为最重要的陈述在这个答案中非常重要，但我还没有弄明白。有人可以帮忙吗？您可以参考此链接，该链接在Wikipedia of "Grundy's Game"

上显示完全相同的插图

任何基本想法也值得赞赏。

伙计这是我面临的确切问题。任何小想法也值得赞赏。

Grundy's game extended to more than two heaps

Answer 1

如果爱丽丝先行，她可以采取的任何行动都不会让她获胜。疲惫证明：

如果Alice将宝石分成5,2,1，那么Bob会以下列方式获胜：

鲍勃转过来。 5,2,1 - ＆gt; 4,2,1,1
爱丽丝转过来。她唯一的合法举措是将四者分开。 4,2,1,1 - ＆gt; 3,2,1,1,1
鲍勃轮到了。 3,2,1,1,1 - ＆gt; 2,2,1,1,1,1
爱丽丝转过来。没有动作可用。爱丽丝输了。

如果Alice将宝石分成4,3,1，那么Bob会以下列方式获胜：

鲍勃轮到了。 4,3,1 - ＆gt; 3,3,1,1
爱丽丝转过来。她唯一合法的举措是分三个。 3,3,1,1 - ＆gt; 3,2,1,1,1
鲍勃轮到了。 3,2,1,1,1 - ＆gt; 2,2,1,1,1,1
爱丽丝转过来。没有动作可用。爱丽丝输了。

如果Alice将宝石分成7,1，那么Bob会以下列方式获胜：

鲍勃轮到了。 7,1 - ＆gt; 4,2,1,1（请注意，根据维基百科的“仅分为两堆”规则，这一举动是不可能的，但不是根据OP的“分成任意数量的桩”规则。）
爱丽丝转过来。她唯一的合法举措是将四者分开。 4,2,1,1 - ＆gt; 3,2,1,1,1
鲍勃转过来。 3,2,1,1,1 - ＆gt; 2,2,1,1,1,1
爱丽丝转过来。没有动作可用。爱丽丝输了。

如果Alice将宝石分成6,2，那么Bob会以下列方式获胜：

鲍勃转过来。 6,2 - ＆gt; 4,2,2
爱丽丝转过来。她唯一的合法举措是将四者分开。 4,2,2 - ＆gt; 3,2,2,1
鲍勃轮到了。 3,2,2,1 - ＆gt; 2,2,2,1,1
爱丽丝转过来。没有动作可用。爱丽丝输了。

如果Alice将宝石分成5,3，那么Bob会以下列方式获胜：

鲍勃轮到了。 5,3 - ＆gt; 3,3,2
爱丽丝转过来。她唯一合法的举措是分三个。 3,3,2 - ＆gt; 3,2,2,1
鲍勃转过来。 3,2,2,1 - ＆gt; 2,2,2,1,1
爱丽丝转过来。没有动作可用。爱丽丝输了。

Answer 2

如果爱丽丝以最佳方式进行比赛，我不会看到任何方式可以让鲍勃获胜。维基百科正确地解释了它。如果两个球员都发挥最佳状态，如果8是初始数量的宝石，那么爱丽丝应该获胜。因为在完成一轮之后（每次都需要1转），Alice总是可以使用配置4 + 2 + 1 + 1来强制执行Bob。从这个配置来看，Bob所能做的就是3 + 1 + 2 + 1 + 1因此Alice赢了

grundy的游戏将一堆分成两堆不等的堆

2 个答案: