空间填充不等大小的圆圈

Question

这是我的问题：

• 我需要在画布中显示一堆圆圈。
• 有任意数量的圆，每个圆都有预定义的半径。
• 圆的总面积始终小于画布的面积。

我想定位圆圈，使它们占据画布内可用的最大空间，而不会相互接触。我的目标是实现视觉上令人愉悦的效果，其中圆圈在画布内分布均匀。我不知道这是否真的是“空间填充”，因为我的目标不是最小化元素之间的距离，而是最大化它。

这是我想要实现的一个例子：

我的第一个“蛮力”想法如下：

1. 对于每个圆圈：计算其边界与每个圆圈边界之间的最短距离;总结所有这些距离，称之为X。
2. 计算所有X的总和。
3. 随机更改圆圈之间的距离。
4. 重做1-3以获得预设的迭代次数，并获取步骤（2）中获得的最大值。

然而，这似乎并不优雅;我确信有更好的方法来做到这一点。有没有现成的算法来实现这样的布局？我可以使用任何现有的库（JavaScript或Ruby）来实现这个目标吗？

修改

以下是已接受答案的Javascript version，其中使用Raphael绘制圆圈。

Answer 1

我会尝试在球体之后插入球体（最大的第一个）。每个都添加在最大可用空间中，并带有一些随机抖动。

查找（或多或少）最大可用空间的一种相对简单的方法是想象视图上的点网格，并为每个网格点（在2D数组中）存储距离任何项目的最近距离：边缘或球体，以最接近的为准。添加每个新球体时，将更新此数组。

要添加新球体，只需获取最远距离的网格点并应用一些随机抖动（实际上您知道可以抖动多少，因为您知道距离最近项目的距离）。 （我会随机化不超过（d-r）/ 2，其中d是数组中的距离，r是要添加的球体的半径。

添加另一个圆后更新此数组并不是火箭科学：您为每个网格点计算新添加的球体的距离，如果更大，则替换存储的值。

您的网格可能太粗糙，并且您无法再添加圆圈（当2D阵列不包含大于要添加的圆的半径的距离时）。然后你必须在继续之前增加（例如加倍）网格分辨率。

以下是此实现的一些结果（它花了我大约100行代码）

• 100个不同大小的圆圈

• 500个不同大小的圆圈

• 100个相同大小的圆圈

这里有一些粗略的C ++代码（只是算法，不要指望编译）

    // INITIALIZATION

    // Dimension of canvas
    float width = 768;
    float height = 1004;

    // The algorithm creates a grid on the canvas
    float gridSize=10;

    int gridColumns, gridRows;
    float *dist;

    void initDistances()
    {
      // Determine grid dimensions and allocate array
      gridColumns = width/gridSize;
      gridRows = height/gridSize;

      // We store a 2D array as a 1D array:
      dist = new float[ gridColumns * gridRows ];

      // Init dist array with shortest distances to the edges
      float y = gridSize/2.0;
      for (int row=0; row<gridRows; row++)
      {
        float distanceFromTop = y;
        float distanceFromBottom = height-y;
        for (int col=0; col<gridColumns; col++)
        {
          int i = row*gridColumns+col;
          dist[i]=(distanceFromTop<distanceFromBottom?distanceFromTop:distanceFromBottom);
        }
        y+=gridSize;
      }
      float x = gridSize/2.0;
      for (int col=0; col<gridColumns; col++)
      {
        float distanceFromLeft = x;
        float distanceFromRight = width-x;
        for (int row=0; row<gridRows; row++)
        {
          int i = row*gridColumns+col;
          if (dist[i]>distanceFromLeft) dist[i] = distanceFromLeft;
          if (dist[i]>distanceFromRight) dist[i] = distanceFromRight;
        }
        x+=gridSize;
      }
    }

    void drawCircles()
    {
      for (int circle = 0; circle<getNrOfCircles(); circle++)
      {
        // We assume circles are sorted large to small!
        float radius = getRadiusOfCircle( circle ); 

        // Find gridpoint with largest distance from anything
        int i=0;
        int maxR = 0;
        int maxC = 0;
        float maxDist = dist[0];

        for (int r=0; r<gridRows; r++) 
          for (int c=0; c<gridColumns; c++)
          {
            if (maxDist<dist[i]) {
              maxR= r; maxC= c; maxDist = dist[i];
            }
            i++;
          }

        // Calculate position of grid point
        float x = gridSize/2.0 + maxC*gridSize;
        float y = gridSize/2.0 + maxR*gridSize;

        // Apply some random Jitter
        float offset = (maxDist-radius)/2.0;
        x += (rand()/(float)RAND_MAX - 0.5) * 2 * offset;
        y += (rand()/(float)RAND_MAX - 0.5) * 2 * offset;


        drawCircle(x,y,radius);


        // Update Distance array with new circle;
        i=0;
        float yy = gridSize/2.0;
        for (int r=0; r<gridRows; r++)
        {
          float xx = gridSize/2.0;
          for (int c=0; c<gridColumns; c++)
          {
            float d2 = (xx-x)*(xx-x)+(yy-y)*(yy-y);

            // Naive implementation
            // float d = sqrt(d2) - radius;
            // if (dist[i]>d) dist[i] = d;

            // Optimized implementation (no unnecessary sqrt)
            float prev2 = dist[i]+radius;
            prev2 *= prev2;
            if (prev2 > d2)
            {
              float d = sqrt(d2) - radius;
              if (dist[i]>d) dist[i] = d;
            }



            xx += gridSize;
            i++;
          }
          yy += gridSize;
        }
      }
    }

Answer 2

也许某些force-directed layout的应用会很有用。

Answer 3

由于你的目标只是“达到令人愉悦的效果”，而不是解决数学问题，你应该尝试最简单的算法，它可以先工作，看看它是否好看。不应该使用非常复杂的数学。

我知道你希望球体“填充”可用空间，而不会留下大的空白区域，而其他区域则拥挤。您还希望布局看起来是随机的 - 不排列在网格上或类似的东西上。

实现这一目标的明显，简单的方法就是将球体逐个放置在随机位置。如果一个人落在已经放置的球体之上，则生成另一个随机位置，直到找到一个适合的位置。

图中显示的图像大约有40个球体。 40个球体全部落在图像的同一区域，将图像的其余部分留空的可能性非常非常小。随着球体数量的增加，获得非常不平衡布局的可能性将接近于零。

首先尝试，看看它是否符合您的需求。如果它不够“均匀”，你应该能够使用一些非常简单的数学来偏向随机选择的位置，而选择空白区域。不需要使用复杂的算法。