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集合的归纳定义根据集合中的其他元素描述集合中的元素。例如，自然数集N的一个定义是：
- 1在N。
- 如果元素n在N中，则n + 1在N中。
- N是满足（1）和（2）的最小集合。
有许多集合满足（1）和（2） - 例如，集合{1,1.648,2,2.639,3,3.64，...}满足定义。
我不明白为什么需要（3）。在给出的示例中，它指出1.649是该集合的成员，但1.649不满足（1）或（2）。
为什么需要（3）以及集合中的1.649是什么？
答案 0 :(得分：2)
列表中的规则2是“if”，而不是“if if only only”。它们不是生成集合的规则，它们是决定是否允许集合的规则。集合{1,1.648,2,2.639,3,3.648，...}满足规则1，因为1在集合中。它满足规则2，因为对于集合中的每个元素，该元素加1也在集合中。实际上，即使是一组实数也满足前两个规则，并且它有许多你不需要的“额外”元素。
只有规则3停止向集合中添加任意额外元素，表示集合必须是最小的元素。
答案 1 :(得分：1)
前两个要求无法确定某些元素不在集合中。虽然我们保证有1，但没有理由不设置1.649。
显然，我们希望自然数字集合是唯一的，只需要{0,1，...}，因为我们需要能够对所有数字进行断言。
举例说明，我们希望能够做出的一个基本陈述是，任何自然数都是自然数的继承者或者是1。从集合中的另一个数字开始的等价链是没有帮助的。这一点。
答案 2 :(得分：1)
(1) 1 is a natural number`
(2) If N is a natural number, than N+1 is a natural number as well
这是暗示，而不是等价。这就是说 - 如果这些条件适用于任何数字，这是一个自然数。它没有说明是否有其他自然数字。
(3) N is the smallest set satisfying (1) and (2)
这恰恰说明前两个条件令人筋疲力尽。不仅每一个满足它们的数字都是自然的，而且 - 任何不能满足它们的数字都不自然。
条件（3）也可以改为
Every natural number can be obtained by a finite number of applications of (2) on (1)
或只是
Nothing else is a natural number