Question

我正在尝试使用Newton方法的不同实现来计算平方根。一个重要的决定是什么时候终止算法。

显然，使用y*y和x之间的绝对差异是不行的，其中y是x的平方根的当前估计值，因为对于值x可能无法以足够的精度表示其平方根。

所以我应该使用相对标准。天真的我会用这样的东西：

static int sqrt_good_enough(float x, float y) {
  return fabsf(y*y - x) / x < EPS;
}

这看起来效果很好。但是最近我开始阅读Kernighan和Plauger的编程风格元素，他们在第1章中给出了相同算法的Fortran程序，其终止标准（用C翻译）将是：

static int sqrt_good_enough(float x, float y) {
  return fabsf(x/y - y) < EPS * y;
}

~~两者在数学上是等价的~~，但是有理由选择一种形式而不是另一种吗？

Answer 1

他们仍然不等同;底部数字在数学上等同于fabsf(y*y - x) / (y*y) < EPS。我看到你遇到的问题是，如果y*y溢出（可能是因为x FLT_MAX而且y被选中），那么终止可能永远不会发生。以下交互使用了双打。

>>> import math
>>> x = (2.0 - 2.0 ** -52) * 2.0 ** 1023
>>> y = x / math.sqrt(x)
>>> y * y - x
inf
>>> y == 0.5 * (y + x / y)
True

编辑：作为评论（现已删除）指出，在迭代和终止测试之间共享操作也很好。

EDIT2：两者都可能存在子正常x的问题。 professionals规范化x以避免两种极端情况的并发症。

Answer 2

这两个实际上并不完全等效，除非你写fabsf（y * y - x）/（y * y）＆lt; EPS的第一个。（对不起我原来评论中的拼写错误）

但我认为关键点在于使这里的表达式与您在牛顿迭代中计算y的公式相匹配。例如，如果y公式为y =（y + x / y）/ 2，则应使用Kernighan和Plauger的样式。如果是y =（y * y + x）/（2 * y），你应该使用（y * y - x）/（y * y）＆lt; EPS。

通常，终止标准应该是abs（y（n + 1）-y（n））足够小（即小于y（n + 1）* EPS）。这就是两个表达式应该匹配的原因。如果它们不完全匹配，则由于不同的缩放，终止测试可能决定残差不够小而y（n）的差小于浮点误差。结果将是无限循环，因为y（n）已停止更改并且永远不会满足终止条件。

例如，下面的Matlab代码与第一个示例完全相同，但它永远运行：

x = 6.800000000000002
yprev = 0
y = 2
while abs(y*y - x) > eps*abs(y*y)
    yprev = y;
    y = 0.5*(y + x/y);
end

它的C / C ++版本存在同样的问题。