在UMFPACK中，我们需要多长时间进行符号和数字分解？

Question

我有一个系统Ax = b，其中B是一个常数，但A在每次迭代中都会保持少量变化。我正在使用UMFPACK 5再次解决这个线性系统，就像A更改一样。我可以通过两种方式完成上述工作：

1. 在开始时计算矩阵A ONLY 的符号和数值因子分解，并使用此数值对象在每次迭代中求解Ax = b（当然在稀疏矩阵表示中，Ax变为A变化Ap和Ai保持不变）。
2. 计算矩阵A IN EACH 迭代的符号和数值因子分解（即A更改的新数值对象）并使用此新数值对象求解Ax = b。

以上哪种方法是正确的？对于上述两个程序，我得到了完全不同的答案（正如预期的那样）。任何帮助或评论表示赞赏。感谢。

Answer 1

符号分解仅取决于稀疏模式（UMFPACK表示中的Ap和Ai）。数值分解取决于实际值（Ax）。因此，您只需计算一次符号分解，但需要在每个分解中重新计算数值分解。

UMFPACK的文档显示这是对现实的轻微简化。实际上，UMFPACK确实使用实际值来进行符号分解，但它只区分“小”和“大”值。因此，如果矩阵A只有一点变化，那也没关系。如果值（Ax）变化太大以至于先前的“小”值变大，或者相反，那么符号分解可能会改变。但是，如果对新Ax使用旧的符号分解，您仍将获得正确的数值分解和正确的解决方案，但如果使用新的符号分解，UMFPACK（可能）更有效。

因此，是否要重新计算符号分解取决于计算符号分解所需的时间，以及如果使用具有正确Ax的符号分解，则数字分解的速度会更快。我的猜测是，如果你只改变几个值，你不想重新计算符号分解，但你需要进行基准测试。

Answer 2

第二种方法是正确的，就像你计算数值因子分解一样，你应该在每次迭代中重复它。