如何在mathematica中创建合理的错误图？

Question

不确定我想要做的事情是否有意义。我正在使用mathematica中的一些代码进行原型设计，有一天我希望用C ++编写。我只能以双精度计算的环境（因为我使用的是MS VC ++编译器）。

我有一个近似于函数f的多项式，我想绘制误差曲线。已经计算出多项式的系数以达到机器精度（如C ++中的情况）。但是当我绘制相对误差时，我只是获得了数值噪声的图。我期望误差是平滑曲线，因为多项式是泰勒多项式。我怎样才能获得更明智的情节？下面的代码演示了我要做的事情，使用Cos函数作为测试用例。该图的结果只是数值噪声。

f[x_] = Cos[x]
a[k_] := N[(-1)^k/(2*k)!]
approx[x_] := Sum[a[k]*x^(2*k), {k, 0, 12}]
Plot[approx[x]/f[x] - 1, {x, -Pi, Pi}, WorkingPrecision -> 30]

我可以提高计算系数a[k]的精度。

a[k_] := N[(-1)^k/(2*k)!,30]

获得更明智的情节，但这违背了原型代码的目的。因为最终我想绘制我在C ++中创建的近似值的误差图。在该环境中，系数仅以双精度计算。

我觉得这个测试有道理吗？我希望我的近似精确到机器精度，但我如何绘制误差曲线？

感谢阅读。

Answer 1

首先，在包含approx[x]/Cos[x] - 1或Pi/2的范围内绘制-Pi/2只会导致问题，因为Cos[x]在这些点上变为零。在这些点上，approx几乎为零，但并非如此。此外，Cos[x]在分割时被转换为数字零，在代数上被评估为零，因此您可以看到这些点处的尖峰。

其次，当策划一个更明智的地区时，

Plot[approx[x]/f[x] - 1, {x, 0, 0.5}, WorkingPrecision -> 30, PlotRange -> All]

我得到了

这正是我在机器精度附近操作时所期望的。每个尖峰大致相当于一个位。

最后，如果你想要在整个感兴趣的领域有一个很好的近似，我不会使用泰勒展开，这只在扩展点周围的邻域是好的。相反，我会使用min-max approximation查看Chebyshev polynomials。例如，将切比雪夫系列和泰勒系列分为14个术语给出

我正在绘制每个系列与Cos之间的绝对差异。从左边的情节可以看出，切比雪夫系列的整体表现要好于右边的泰勒系列。