Divide＆amp;征服矩阵乘法执行与经典矩阵乘法相同的加法/减法量？
我知道他们专门针对乘法，因为它们都具有相同的O（n ^ 3）复杂度......
但是当我尝试在我正在制作的程序中计算它们时，添加/减去的数字会变得不同，我不确定这是否正确。
如果有人确切知道，请告诉我，谢谢。
答案 0 :(得分：10)
让我们假设平方矩阵。
如果计算经典矩阵乘法中的加法数（没有减法），则会得到N ^ 3个加法。有N ^ 2个元素，每个元素是由N-1个加法组成的行和列的点积，所以几乎完全是N ^ 3个加法。
要计算分而治之矩阵乘法中的加法数，让我们看看它是如何工作的：
将NxN矩阵分解为四个（N / 2）x（N / 2）矩阵，然后将其视为2x2矩阵并递归执行块乘法。例如，将两个8x8矩阵相乘：< / p>
┌┌A A A A┐┌B B B B┐┐ ┌┌a a a a┐┌b b b b┐┐
││A A A A││B B B B││ ││a a a a││b b b b││
││A A A A││B B B B││ ││a a a a││b b b b││
│└A A A A┘└B B B B┘│ │└a a a a┘└b b b b┘│
│┌C C C C┐┌D D D D┐│*│┌c c c c┐┌d d d d┐│
││C C C C││D D D D││ ││c c c c││d d d d││
││C C C C││D D D D││ ││c c c c││d d d d││
└└C C C C┘└D D D D┘┘ └└c c c c┘└d d d d┘┘
新矩阵将是：
┌┌ ┐┌ ┐┐
││ Aa+Bc ││ Ab+Bd ││
││ ││ ││
│└ ┘└ ┘│
│┌ ┐┌ ┐│
││ Ca+Dc ││ Cb+Dd ││
││ ││ ││
└└ ┘└ ┘┘
(where for example Aa is a 4x4 matrix multiplication)
[N / 2xN / 2] * [N / 2xN / 2]的每次乘法是大小为N / 2的子问题。我们必须做其中的8个子问题。这让我们从上面再次出现：
additions[N] = 8*additions[N/2] + N^2
也就是说，如果我们支付N ^ 2个加法的价格，我们就可以将大小为N的问题分解为8个大小为N / 2的子问题。 我们可以使用Master Theorem（或更一般的Akra-Bazzi定理）或通过检查来解决：
additions[N] = 8*(8*(8*(8*(..1..) +(N/8)^2) +(N/4)^2) +(N/2)^2) +N^2
使用Master Theorem，additions[N] = O(N^(log_2(8))) = O(N^3)
为什么我们会这样做，因为它的增长顺序相同？我们不会。事实证明，为了获得更好的渐近复杂度，你不想这样做，你想要使用一种称为Strassen方法的代数技巧。请参见第4页的http://www.cs.berkeley.edu/~jordan/courses/170-fall05/notes/dc.pdf。我们新的递归关系来自计算该页面上显示的乘法和加法的数量。形成NxN矩阵需要添加18个[N / 2xN / 2]矩阵。
additions[N] = 7*additions[N/2] + 18*(N/2)^2
= 7*additions[N/2] + (18/4)*(N/2)^2
正如我们所看到的，我们必须减少一个子问题，但代价是在组合方面做更多的工作。主定理说additions[N] = O(N^(log_2(7))) ~= O(N^2.807)。
所以渐近地，会有少数增加，但只是渐近。当我们模拟两个递归关系时，真实的故事就被揭示出来了：
#!/usr/bin/python3
n = 1 # NxN matrix
normal = 1
naive = 1
strassen = 1
print('NUMBER OF ADDITIONS')
print(' NxN | normal naive strassen | best')
print('-'*60)
while n < 1000000000:
n *= 2
normal = (n-1)*n**2
naive = 8*naive + n**2
strassen = 7*strassen + (18/4)*n**2
print('{:>10} | {:>8.2e} {:>8.2e} {:>8.2e} | {}'.format(
n,
normal, naive, strassen/normal,
'strassen' if strassen<n**3 else 'normal'
))
结果：
NUMBER OF ADDITIONS
NxN | normal naive strassen | best
------------------------------------------------------------
2 | 4.00e+00 1.20e+01 2.50e+01 | normal
4 | 4.80e+01 1.12e+02 2.47e+02 | normal
8 | 4.48e+02 9.60e+02 2.02e+03 | normal
16 | 3.84e+03 7.94e+03 1.53e+04 | normal
32 | 3.17e+04 6.45e+04 1.12e+05 | normal
64 | 2.58e+05 5.20e+05 7.99e+05 | normal
128 | 2.08e+06 4.18e+06 5.67e+06 | normal
256 | 1.67e+07 3.35e+07 4.00e+07 | normal
512 | 1.34e+08 2.68e+08 2.81e+08 | normal
1024 | 1.07e+09 2.15e+09 1.97e+09 | normal
2048 | 8.59e+09 1.72e+10 1.38e+10 | normal
4096 | 6.87e+10 1.37e+11 9.68e+10 | normal
8192 | 5.50e+11 1.10e+12 6.78e+11 | normal
16384 | 4.40e+12 8.80e+12 4.75e+12 | normal
32768 | 3.52e+13 7.04e+13 3.32e+13 | strassen
65536 | 2.81e+14 5.63e+14 2.33e+14 | strassen
131072 | 2.25e+15 4.50e+15 1.63e+15 | strassen
262144 | 1.80e+16 3.60e+16 1.14e+16 | strassen
524288 | 1.44e+17 2.88e+17 7.98e+16 | strassen
1048576 | 1.15e+18 2.31e+18 5.59e+17 | strassen
2097152 | 9.22e+18 1.84e+19 3.91e+18 | strassen
4194304 | 7.38e+19 1.48e+20 2.74e+19 | strassen
8388608 | 5.90e+20 1.18e+21 1.92e+20 | strassen
16777216 | 4.72e+21 9.44e+21 1.34e+21 | strassen
33554432 | 3.78e+22 7.56e+22 9.39e+21 | strassen
67108864 | 3.02e+23 6.04e+23 6.57e+22 | strassen
134217728 | 2.42e+24 4.84e+24 4.60e+23 | strassen
268435456 | 1.93e+25 3.87e+25 3.22e+24 | strassen
536870912 | 1.55e+26 3.09e+26 2.25e+25 | strassen
1073741824 | 1.24e+27 2.48e+27 1.58e+26 | strassen
正如我们所看到的，仅关于加法，Strassen优于传统的正常矩阵乘法相对于加法数，但只有当矩阵超过大约30000x30000的大小时才会出现。
（另请注意，就增加而言，天真的分而治之的乘法与传统的矩阵乘法渐近相同。但是，它仍然表现为“差”，最初为3倍，但随着矩阵大小的增加渐渐地差了2倍。当然，这并没有告诉我们涉及乘法的真正复杂性，但如果确实如此，如果我们有一个可以利用不同计算的并行算法，我们可能仍然想要使用它。结构。）
答案 1 :(得分：0)
如果正在讨论简单的分治矩阵乘法算法（而不是Strassens方法），那么与正常的矩阵乘法相比，操作数 SAME 。
This链接提及：
在这种情况下，分而治之的方法导致与矩阵乘法的“正常”方法完全相同的操作次数。上面的重现来自于这样一个事实：当应用于2乘2矩阵时，常规方法需要8次乘法和4次加法。