我正在使用MATHEMATICA在具有周期性或自由边界条件的方形域上求解时间和空间(t, x)中的四阶非线性偏微分方程。
没有使用保角映射，我可以使用边缘或角落的边界条件使方形域“看起来像”我的非线性偏微分方程的圆形域，这是笛卡尔坐标？
我 NOT 喜欢使用的选项是：
这是我纯粹出于兴趣追求的事情，以防有人因为误解为家庭作业问题而尖叫血腥谋杀！ :P
答案 0 :(得分：5)
当人们发现这个世界是球形的时候，人们问了这个问题。他们想制作世界表面的矩形地图......
这是不可能的。
不可能的原因是因为球体有intrinsic curvature，而立方体/平行六面体没有。可以证明，对于具有不同内禀曲率的两个元素，它们的表面在保持恒定的无穷小距离时不能被映射，或者两个点之间的距离由欧几里德距离给出。
理解这个问题的最简单的方法是挑选一些矩形纸，并尝试制作它的球体，而不是局部拉伸或压缩它（你可以折叠）。你不能。另一方面，您可以制作圆柱面，因为圆柱体也没有固有的曲率。
在地图中，通常人们会使用以下两个选项之一：
通过切线平面近似球体的局部表面，并从中生成一个矩形。 （某地区的当地地图）
制作世界地图，但在各处实施一些曲线，确定必须根据这些线条进行测量距离。
这也是为什么当从欧洲到北美旅行时，飞机似乎总是试图通过加拿大附近的主要原因。如果我们测量距矩形地图的距离，我们会发现它们应该在海峡线上以最小化距离。但是，因为我们正在绘制两个不同的内在曲率，所以实际距离必须以不同的方式测量（而不是通过海峡线）。
对于2D（事实上对于nD），同样的推理也适用。