给定几个向量/集合，每个向量/集合包含在一个向量内不同的多个整数。现在我想检查一下，是否存在一个通过从每个给定的向量/集中提取只有一个元素而组成的集合，同时提取的数字不相同彼此。
例如，给定a，b，c，d为：
a <- (1,3,5);
b <- (3,6,8);
c <- (2,3,4);
d <- (2,4,6)
我可以找到像（1,8,4,6）或（3,6,2,4）这样的集合......实际上，我只需要找出一个这样的集来证明存在。< / p>
应用残酷力搜索，可以检查最大m ^ k个组合，其中m是给定集的大小，k是给定集的数量。
有更聪明的方法吗？ 谢谢！
答案 0 :(得分：10)
您可以将问题重新表述为二分图中的匹配：
如果集合包含给定的整数，则“set”节点和“integer”节点之间存在边缘。然后，您试图在此二分图中找到匹配：每个集合将与一个整数相关联，并且不会使用两次整数。找到这种匹配的简单算法的运行时间是O（| V || E |），这里是| V |小于（m + 1）k和| E |等于mk。所以你有一个O（m ^ 2 k ^ 2）的解决方案。请参阅：Matching in bipartite graphs。
二分匹配算法：
该算法适用于定向图。开始时，所有边缘都从左到右定向。如果它们之间的边缘从右到左定向，则将匹配两个节点，因此在开始时，匹配为空。该算法的目标是找到“增加路径”（或交替路径），即增加匹配大小的路径。
扩充路径是有向图中从不匹配的左节点开始到不匹配的右节点结束的路径。一旦你有一个扩充路径，你只需要沿着路径翻转所有边缘，增加一个匹配大小的增量。 （匹配的大小将增加，因为您还有一个不属于匹配的边。这称为交替路径，因为路径在不属于匹配的边，左到右和属于匹配的边之间交替，从右到左。）
以下是您如何找到扩充路径：
如果找不到扩充路径，则匹配是最佳的。
找到一个增广路径的复杂度为O（| E |），并且你最多在min（k，m）次这样做，因为最佳匹配的大小以k和m为界。所以对于你的问题，复杂性将是O（mk min（m，k））。
您还可以查看this reference第1部分，了解有关校样的更完整说明。