Question

我想要做的是创建一个算法，能够找到两组对象之间的所有可能的双射。

一个简单的例子，假设我们有两个数组{1,2,3} {4,5,6}。

该算法应该给我3！= 3 * 2 * 1 = 6次以下的投射：

1-4 2-5 3-6 \ 1-4 2-6 3-5 1-5 2-4 3-6 \ 1-5 2-6 3-4 1-6 2-5 3-4 1-6 2-4 3-5 \

尽管起初看起来很简单，但我很困惑。在组合学，双射或排列理论中是否有任何标准算法来解决这个问题？先感谢您。

克里斯蒂娜

Answer 1

你应该递归地，“选择”每个变量中的一个 - 并将其添加到解决方案中 - 为所有可能性做到这一点，并在每次递归调用时缩小可能的选择。

伪代码应该是[假设| S1 | == | S2 |]：

getAllBijections(S1,S2,sol):
   if (S1 is empty):
       print sol
   else:
       first <- S1.first
       S1 <- S1.deleteFirst()
       for each e in S2:
           S2.remove(e)
           sol.append(first,e)
           getAllBijections(S1,S2,sol) // note we are invoking with modified S1,S2,sol
           sol.removeLast() //remove the last sol
           S2.add(e) //return e to S2
       end for
   end if

请注意，确实会生成n!种可能性，因为对于每次迭代，您可以选择少一个元素，从而产生n * (n-1) * ... * 1 = n!种可能性，如预期的那样。

Answer 2

组合学，双射或排列理论中是否有任何标准算法可以解决这个问题？

是！生成两组N个元素之间的所有双射与生成N个元素的所有排列相同;将排列视为指示，对于第一组的每个元素，第二组中的哪个元素将是双射下的图像。因此，您正在寻找一种算法来生成所有排列＆＃34;。

Knuth在这个主题上有一个简短的book，你也可以免费下载：＆＃34; The Art of Computer Programming: Generating all Permutations＆＃34; （注意：压缩的postscript格式）。他给出的第一个算法是＆＃34;算法L＆＃34;，这是一个有趣的替代明显的递归算法。

维基百科对＆＃34; Algorithms to generate permutations＆＃34;的讨论你会感兴趣的。如果您使用C ++编程，则可以使用next_permutation函数中的实现。

（当然，这假设你在讨论可数集，而不是像x ⟼ x+1这样的实数的双射。）

Answer 3

简化此问题的一种方法是简单地获取第二个数组的所有排列，然后在第一个数组和每个置换的第二个数组之间执行n对n映射。

例如，如果你有[1,2]和[3,4]，首先计算[3,4] - ＆gt;的排列。 {[3,4]，[4,3]}，然后将每个配对[1,2]。结果是{[（1,3），（2,4）]，[（1,4），（2,3）]}。

我在Python中包含了一个示例实现，如下所示。

import itertools
a = [1,2]
b = [3,4]

for p in itertools.permutations(b):
    print zip(a,p)

# Output:
# [(1, 3), (2, 4)]
# [(1, 4), (2, 3)]

查找两组之间的所有可能的双射

3 个答案: