随机数发生器产生幂律分布？

Question

我正在为C ++命令行Linux应用程序编写一些测试。我想生成一堆具有幂律/长尾分布的整数。意思是，我经常得到一些数字，但大多数都是相对不频繁的。

理想情况下，我可以使用rand（）或其中一个stdlib随机函数。如果没有，一个易于使用的C / C ++块就会很棒。

谢谢！

Answer 1

本page at Wolfram MathWorld讨论了如何从均匀分布中获得幂律分布（这是大多数随机数生成器提供的分布）。

简短回答（从以上链接推导出来）：

x = [(x1^(n+1) - x0^(n+1))*y + x0^(n+1)]^(1/(n+1))

其中 y 是统一变量， n 是分配能力， x0 和 x1 定义范围分布， x 是你的幂律分布变量。

Answer 2

如果您知道所需的分布（称为概率分布函数（PDF））并将其正确归一化，则可以将其集成以获得累积分布函数（CDF），然后反转CDF（如果可能）以获取您需要从统一[0,1]分发到您想要的转换。

所以你首先要定义你想要的发行版。

P = F(x)

（对于[0,1]中的x）然后积分给出

C(y) = \int_0^y F(x) dx

如果可以倒置，你可以

y = F^{-1}(C)

请调用rand()并将结果插入最后一行的C并使用y。

这个结果被称为采样的基本定理。由于归一化要求和分析反转函数的需要，这是一个麻烦。

或者，您可以使用拒绝技术：将数字均匀地投射到所需范围内，然后抛出另一个数字并与第一次投掷所在位置的PDF进行比较。如果第二次投掷超过PDF则拒绝。对于具有大量低概率区域的PDF来说效率低下，比如那些长尾巴的那些......

中间方法涉及通过暴力反转CDF：将CDF存储为查找表，并进行反向查找以获得结果。

---

这里真正的问题是简单的x^-n分布在范围[0,1]上是不可规范化的，所以你不能使用抽样定理。尝试（x + 1）^ - n而不是......

Answer 3

我无法评论产生幂律分布所需的数学（其他帖子有建议），但我建议您熟悉<random>中的TR1 C ++标准库随机数设施。这些提供的功能比std::rand和std::srand更多。新系统为发生器，引擎和发行版指定了模块化API，并提供了大量预设。

包含的分发预设为：

• uniform_int
• bernoulli_distribution
• geometric_distribution
• poisson_distribution
• binomial_distribution
• uniform_real
• exponential_distribution
• normal_distribution
• gamma_distribution

定义幂律分布时，您应该能够将其插入现有的发电机和引擎中。 Pete Becker撰写的 C ++标准库扩展一书对<random>有一个很好的章节。

Here is an article关于如何创建其他发行版（包含Cauchy，Chi-squared，Student t和Snedecor F的示例）

Answer 4

我只想进行实际模拟，作为（正确）接受的答案的补充。虽然在R中，代码很简单，但是（伪）-pseudo-code。

接受的答案中的Wolfram MathWorld formula与其他可能更常见的方程之间的微小差异是幂律指数 n（通常表示为因为alpha）没有明确的负号。因此，所选的alpha值必须为负值，通常在2到3之间。

x0和x1代表分发的下限和上限。

所以这是：

x1 = 5           # Maximum value
x0 = 0.1         # It can't be zero; otherwise X^0^(neg) is 1/0.
alpha = -2.5     # It has to be negative.
y = runif(1e5)   # Number of samples
x = ((x1^(alpha+1) - x0^(alpha+1))*y + x0^(alpha+1))^(1/(alpha+1))
hist(x, prob = T, breaks=40, ylim=c(0,10), xlim=c(0,1.2), border=F, 
col="yellowgreen", main="Power law density")
lines(density(x), col="chocolate", lwd=1)
lines(density(x, adjust=2), lty="dotted", col="darkblue", lwd=2)

或以对数标度绘制：

h = hist(x, prob=T, breaks=40, plot=F)
     plot(h$count, log="xy", type='l', lwd=1, lend=2, 
     xlab="", ylab="", main="Density in logarithmic scale")

以下是数据摘要：

> summary(x)
   Min.   1st Qu.  Median    Mean   3rd Qu.    Max. 
  0.1000  0.1208  0.1584    0.2590  0.2511   4.9388