Question

给定范围[1,200万]，对于此范围内的每个数字，我需要生成并将每个整数的除数的数量存储在数组中。

所以如果x = p1 ^（a1）* p2 ^ a2 * p3 ^ a3，其中p1，p2，p3是素数， x的除数总数由（p1 + 1）（p2 + 1）（p3 + 1）给出。我生成了所有在2000以下的素数和范围内的每个整数，我做了试验分裂获得每个素数因子的幂，然后使用上面的公式来计算除数的数量并存储在数组中。但是，这样做很慢，大约需要5秒才能生成分配器数量对于给定范围内的所有数字。

我们能否以其他有效的方式做到这一点，可能没有分解每一个数字？

以下是我现在使用的代码。

typedef unsigned long long ull;
void countDivisors(){
    ull PF_idx=0, PF=0, ans=1, N=0, power;
    for(ull i=2; i<MAX; ++i){
        if (i<SIEVE_SIZE and isPrime[i]) factors[i]=2;
        else{
        PF_idx=0;
        PF=primes[PF_idx];
        ans=1;
        N=i;
        while(N!=1 and (PF*PF<=N)){
            power = 0;
            while(N%PF==0){ N/=PF; ++power;}
            ans*=(power+1);
            PF = primes[++PF_idx];
        }
        if (N!=1) ans*=2;
        factors[i] = ans;
        }
    }
}

Answer 1

首先你的公式是错误的。根据你的公式，12的除数之和应为12.实际上它是28.正确的公式为(p₁^a₁ - 1)*(p₂^a₂ - 1) * ... * (p_k^a_k - 1)/( (p₁ - 1) * (p₂ - 1) * ... * (p_k - 1) )。

那就是说，最简单的方法可能只是做筛子。人们可以通过偏移得到聪明，但为了简单起见，只需要制作一个2,000,001个整数的数组，从0到200万。将其初始化为0。然后：

for (ull i = 1; i < MAX; ++i) {
    for (ull j = i; j < MAX; j += i) {
        factors[j] += i;
    }
}

这可能感觉效率低下，但并不是那么糟糕。截至N的数字所需的总工作量为N + N/2 + N/3 + ... + N/N = O(N log(N))，这比试验部门少了几个数量级。并且操作都是加法和比较，对整数来说很快。

如果你想继续你最初的想法和公式，你可以通过使用改良的Eratosthenes筛子来创建一个数量从1到2百万列出每个数字的主要因素，从而提高效率。构建该数组的速度相当快，您可以使用任何数字并对其进行分解，远比试用部门快得多。

有效地计算范围内整数的除数总数

1 个答案: