公式如何从这些代码行中派生出来？

Question

我正在阅读以下一本书 - http://www.amazon.com/Algorithms-4th-Robert-Sedgewick/dp/032157351X，其中一个部分讨论了从代码中推导出公式来估计性能。

例如，线D的公式是“N ³ / 6-N ² / 2 + N / 3”。 我可以看到三个“N”代表三个for循环。并且如何得出立方和平方。但为什么“N ³ / 6”和为什么减法再添加？

感谢。

Answer 1

我们只关注i＆lt; j＆lt; k，这不是所有N ^ 3种可能性。 0 <= i <0的可能性的数量。 j＆lt; k＆lt; N是N选择3，等于N ^ 3/6 - N ^ 2/2 + N / 3.

Answer 2

有时候使数字具体化是有帮助的，并且通过整个程序追踪很长的路径（就像它一样）将具体的数字放在你感到困惑的每个数量上。

所以在这种情况下，如果N是（任意）10，那会发生什么？

好吧，对于A块，没关系：执行一次。

对于B块，它确实很重要：我从0开始，并执行直到并包括i = 9，总共执行10次，但N是10。

对于C块，它变得更加棘手：当i为0时，j初始化为1，并执行直到并包括j = 9，总共执行9次。然后下一次通过，i = 1，j初始化为2，并执行8次等。总计，它执行9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45次。但那是（N ^ 2-N）/ 2。

D和E块遵循相同的方式。

那就是说，你不应该费力地通过每一个例子，就像那样。我上面的两个答案是完全正确的，非常简洁。对于像这样的小环，我通常会考虑几何：B块就像在标尺上标出凹口，这是测量长度。 C块就像在网格上标出正方形，首先是9行，然后是8行等等。它有点像测量区域，在这种情况下，该区域看起来像一个三角形，其面积比例到N ^ 2。

如果我的几何类比对你不起作用，那没关系。做足够的这些，你希望得到一个直观的框架。

Answer 3

因为j循环的循环限制是从i的当前值派生的，并且k循环的限制是从{{1}的当前值派生的}。如果你计算出所有数学，那就是你最终得到的表达式。

Answer 4

您还可以通过求解以下求和来推导出行D 的频率：

应用列出here的适当公式（前两节）。