换档字符串的数据结构

Question

我们对二进制字符串的数据结构感兴趣。令S = s ₁ s ₂ .... s _m 是大小为m的二进制字符串。 Shift(S,i)是字符串S i空格的循环移位到左侧。也就是说，Shift（S，i）= s _i s _{i + 1} s _{i + 2} ... s _{m < /子>取值<子> 1 内容S <子> I-1 。建议支持以下的高效数据结构：}

O（1）中的empy DS的
1. Init()
2. Insert(s)在O（| s | ^ 2）
中将二进制字符串插入DS
3. Search_cyclic(s)检查O（| s |）中的任何Shift(S,i)是否i。

空间复杂度：O（| S ₁ | + | S ₂ | + ..... + | S _m |）其中S _i 是一个，如果m字符串我们已经插入了这么远。

如果我必须为某些给定i找到Search_cyclic（s，i），使用后缀树并在O（| s |）中遍历它非常简单。但是在Search_cyclic（s）中我们没有给定的i，因此我不知道在给定的复杂性中该怎么做。 OTOH，Insert（s）通常将O（| s |）插入到后缀树中，这里给出O（| s | ^ 2）。

Answer 1

所以这是我可以向你提出的解决方案。复杂性甚至低于他们对你的要求，但看起来有点复杂。

您保留所有字符串的数据结构将是Trie甚至是Patricia tree。在每个字符串的树中，您希望在所有可能的移位中插入最小循环移位（即，所有可能的最小字典顺序移位）。您可以在线性时间内计算字符串的最小循环移位，稍后我将给出一个可能的解决方案。暂时让我们假设你可以做到。以下是如何实施所需的操作：

1. Init（） - trie和patricia树的init都是常量 - 这里没问题
2. 插入 - 您在O（| s |）中计算s的最小循环移位s'，然后将其插入O（| s'|）= O（| s |）中的任一数据结构中。 ）。这甚至比所需的复杂性更好
3. Search_cyclic（s） - 再次计算O（| s |）中s的最小循环移位，然后检查Patricia或Trie是否存在字符串，这也是在O（| s |）中完成的

此外，内存复杂性也是必需的，如果构建Patricia，可能会更低。

所以剩下的就是如何找到最小的循环移位。既然你提到了后缀树，我希望你知道如何在linear time中构建它。所以诀窍是 - 你将你的字符串s附加到自身（即加倍），然后你为doubled字符串构造一个后缀树。这对于| s |仍然是线性的所以没问题。之后，您所要做的就是在此树中找到长度为n的最小后缀。我认为这并不难 - 从根开始并始终遵循当前节点上的链接，该节点上写有最小的字符串，直到累积的长度超过| s |。由于字符串加倍，您将始终能够遵循最小的字符串链接，直到您至少累积| s |。

希望这个答案有所帮助。