Question

我有264个孩子需要分成24个游戏组。每组可包含10,11或12名儿童。此外，每个孩子都可以拥有一个喜欢与其合作的喜欢玩伴的列表。此列表可以为空，或最多包含5个孩子。

最后，一个有偏好的孩子不应该在没有任何首选玩伴的群体中：至少有一个朋友应该在小组中。

我尝试了一些伪代码：

Group[11] groups;
List<Node> nodes;
int x = 264;
int nrGroups = 24;
int maxNodesInGroup = 12;
int minNodesInGroup = 10;    
foreach(Node node in nodes) {
  if(node not in any group)
    add to a group
  else
    continue

  foreach(Node preferedFriend in node.Preferred) {
    if(node not in any group) {
      //add to a same group
      continue
    } else {
      continue
    }
  }     
}

有没有办法为每个孩子创造最理想的游戏小组？

Answer 1

这听起来像minimum k-cut问题。每个孩子都是图表中的一个节点。 k个已连接的组件是您的游戏组。在每对子项之间绘制一条边（对于完全连接的图形）。

如果一个孩子希望与另一个孩子一起玩，则用1标记边缘，否则0。或者如果两端的孩子都有较少的首选玩伴，可能会为边缘分配更多的重量。然后你的目标是在26个不同的组件中划分图形，同时最小化总的“切割”边缘。

Answer 2

如果您想要最佳解决方案，可以尝试使用整数线性规划求解器。即使问题是NP难的，它们通常也很快。

您将拥有二元变量g _ci，如果子c在组i中，则为1。然后你得到每个c的不等式：Σ_i g _ci = 1并且对于每个i：Σ_c g _ci＆gt; = 10和Σ_c g _ci＆lt; = 12.然后你有每个子c的二进制变量s _cd列表中的子d，如果愿望被授予，则为1。为了确保g和s变量之间的一致性，需要对每个c，d和i进行约束：s _cd＆lt; = 1 +（g _ci - g _di）和s _cd＆lt; = 1 +（g _di - g _ci）。仅当所有g值匹配时，这允许s _cd为1。然后为每个c留下没有孩子：Σ_d s _cd＆gt; = 1.最后，目标是最大化Σ_{c，d < /子>取值<子> CD}

这个ILP有很多变量（大约7000个），但很有可能它可以通过像GLPK或Coin CBC这样的求解器来解决;另外，编写一个为这些求解器生成输入的脚本应该相当容易，例如“CPLEX LP”格式。

Answer 3

不是答案，而是一些进一步的阅读和我自己的部分算法。

这似乎是stable roommates (SR) problem的变体（本身就是稳定婚姻问题的一种变体）。另外两个似乎特别相关的变体是stable roommates problem with ties (SRT)（PDF）和stable fixtures (SF) problem（PDF）。前者讨论了与＆＃34; tie＆＃34; （与您的所有偏好排名相同），而后者讨论匹配的组大于2。两者都包括伪代码算法，可以适应您的问题。

就我而言，考虑一下你的节点＆＃34;是有意义的。作为三组不同的人：

A ，没有偏好的
B ，那些只有一个偏好的人
C 具有多个偏好的

直观地，似乎 B 是您应该首先考虑的集合，因为根据您自己的规范，每个必须必须与他们偏好的人分组。从一个起点开始，这是一个（不完整的）算法背后的信封：

将节点划分为三个不连续的集合： A ， B 和 C ，如上所述。
< / LI>

构建一个包含 size（B）对 {x，y} 的 Sb 集合 x < / em>是来自 B 的人， y 是他们的偏好人（ y 可能出现在几对中）。丢弃 B 。

对于 Sb 中 y 是 A 成员的任何一对（即 x 喜欢 y 而 y 没有首选项），在 Sba 中将对设置为一边，将其从 Sb 中移除。< / p>

对于 Sb 中 {y，x} 的任何一对 {x，y} ，其中 {y，x} 也存在于 Sb （即相互单一偏好）在 Sbb 中设置 {x，y} ，并删除它和 {y，x} 来自 Sb 。

构建24集 G（1） ... G（24）。通过以下方式分发 Sba 和 Sbb 的成员：

在 G（1..24）之间均匀分配 Sba 的成员对，即从 Sba 添加一个成员每个 G（1..24），然后是第二个成员，依此类推，直到 Sba 耗尽，然后重复 Sbb 直到它也是，已经筋疲力尽了。

此时 G（1..24）仅包含＆＃34;稳定＆＃34;成员，即每对中的每个成员现在都在 G（n）组中，这样 G（n）包含其唯一的首选项，而没有 x 或 y 在多个组中。

以下列方式在 G（1..24）中分配 Sb 的剩余对 {x，y} ：

如果 y 存在于任何组 G（n）中，请丢弃该对，并将 x 单独添加到 G（ n）除非 size（G（n））= 12 。

如果后一种情况属实，则添加 x 以设置 P 。

否则将 {x，y} 添加到第一组 G（1..24） size（G（n））= min（size（G（1..24）））或者，如果所有组具有相同的大小，则将其添加到 G（1）。

此时 Sb 已用尽。

这是事情变得多毛的地方，有很多可能的方法。只有一个跟随。

对于 C 的每个成员 x （具有多个首选项的人员集），将 x 添加到 G（n ）其中 G（n）的 C 的偏好比 G（1..24）中的任何其他 更多 em>和 size（G（n））＆lt; 12 。如果有平局选择第一个尺寸（G（n））= min（尺寸（G（1..24）））。

如果 G（1..24）中没有 x 的偏好，则将 x 添加到的第一个 G（1..24） size（G（n））= min（size（G（1..24）））。

此时 C 已用尽，只留下 A 。

对于 C 的每个成员 q ，将 y 添加到 G（n）其中 G（n）有更多成员 p ， q 是 p 和 size（G（< n））＆lt; 12 。如果有平局选择第一个尺寸（G（n））= min（尺寸（G（1..24）））。

如果 G（1..24）都没有 q 是首选项的成员，请选择第一个 G（1..24） size（G（n））= min（size（G（1..24）））。
此时 A 也已耗尽且所有人都是 G（1..24）中的一个且只有一个的成员。我想。

这留下两组：

P ，我们预留的 Sb 中的成员 {x，y} x 他们没有适应＆＃34;在 G（n）中 y 是 G（n）的成员。

Q ， C 的成员 x 已添加到 G（1..24）当 G（1..24）中的任何成员都不是 x 的偏好时。

让我们首先处理 Q 。

对于 Q 的每个成员 x （也是成员 G（n）），如果 G（n）有一个或多个 x 偏好的成员，然后 x 的成员资格不变。

否则请执行以下操作：

如果 G（n）有仅偏好设置为 x 的成员，则添加 x 设置 R ，但也将其保留为 G（n）的成员。

否则从 G（n）中删除 x 并将其添加到 G（m） G（ m）具有 x 和 size（G（m））＆lt; 12

如果没有这样的设置，则添加 x 以设置 P ，但也将其保留为 G（n）的成员。

如果存在平局，请选择 x 为首选项的成员最多的集合。如果仍然一个平局，则选择最小的一组，如果仍有平局，则选择其中的第一个。

现在 Q 已用尽，我们留下了两套 P 和 R 。

让我们选择 P ，其成员不会适应＆＃34;在任何 G（1..24）中，其任何偏好都是匹配。

对于 P 的每个成员 x ：

将 x 添加到第一组 G（n） size（G（n））= min（size（G（1） ..24）））。

现在在 G（m）不 x 的首选项 y >其中包含仅偏好设置为 y 的其他成员 z 。每个 y 都添加到 Px 。

在 Px 中找到 y 中的人
如果存在平局，请选择 G（n） * y *的大多数成员为 Px 的成员 y 偏爱。如果仍然存在平局，则选择其 G（m）集合中 y 为首选项的成员最少的那个。如果仍然一个平局选择其 G（m）集合中 y 偏好的成员最少的那个。如果仍然一个平局选择其 G（m）集合最大的那个（并且如果有最大用途的平局）以上标准可供选择，最后诉诸 Tx 的第一个成员。

将 y 添加到 G（n）并将其从 G（m）中删除。

P 现已用尽。

我们现在留下了 R ， x 的一组人，他们有多个偏好并且在一个组中 G（n） 没有成员属于 x 的偏好，但不能被移动＆＃34;因为 G（n）有一个或多个成员 y 仅偏好 x 。 p>
为了解决此问题，我们可能会尝试从其他组 G（m）移动 x 的成员 z 。当然，如果 G（m）包含 z 的任何成员 z ，我们就无法移动 z 。如果没有＆＃34;可移动＆＃34; z 存在我们可能会尝试将 {x，y} 对移动到 G（m），或者我们可能会尝试移动该对 {z，v} 到 G（n），但如果 y 或 v ，则可能无法实现同样纠缠不清。从那里我们可以尝试三元组，等等。

在最后一步（虽然可能之前，如果我忽略了某些事情），你可能会在一个周期中结束，或者问题可能是NP难以解决并且无法保证解决方案。我认为这对于博士来说是一个问题。但是，您可能会发现，您永远不会得到集合 P ， Q 或 R ，或者它们足够小，您可以只是眼球解决方案。我希望无论如何这都会有所帮助。

为具有首选项的节点创建组

3 个答案: