Question

我正在使用Python和Numpy来计算任意度数的最佳拟合多项式。我传递了一个x值，y值和我想要拟合的多项式的程度列表（线性，二次等）。

这很有用，但我也想计算r（相关系数）和r平方（确定系数）。我将我的结果与Excel的最佳拟合趋势线能力以及它计算的r平方值进行比较。使用这个，我知道我正在为线性最佳拟合（度等于1）正确计算r平方。但是，我的函数不适用于度数大于1的多项式。

Excel可以做到这一点。如何使用Numpy计算高阶多项式的r平方？

这是我的功能：

import numpy

# Polynomial Regression
def polyfit(x, y, degree):
    results = {}

    coeffs = numpy.polyfit(x, y, degree)
     # Polynomial Coefficients
    results['polynomial'] = coeffs.tolist()

    correlation = numpy.corrcoef(x, y)[0,1]

     # r
    results['correlation'] = correlation
     # r-squared
    results['determination'] = correlation**2

    return results

Answer 1

一个非常晚的回复，但万一有人需要一个准备好的功能：

scipy.stats.stats.linregress

即

slope, intercept, r_value, p_value, std_err = scipy.stats.linregress(x, y)

在@Adam Marples的回答中。

Answer 2

从numpy.polyfit文档中，它适合线性回归。具体而言，具有度'd'的numpy.polyfit适合具有均值函数的线性回归

E（y | x）= p_d * x ** d + p_ {d-1} * x **（d-1）+ ... + p_1 * x + p_0

所以你只需计算那个拟合的R平方。 linear regression上的维基百科页面提供了完整的详细信息。您对R ^ 2感兴趣，您可以通过几种方式计算，最简单的可能是

SST = Sum(i=1..n) (y_i - y_bar)^2
SSReg = Sum(i=1..n) (y_ihat - y_bar)^2
Rsquared = SSReg/SST

我使用'y_bar'表示y的平均值，'y_ihat'表示每个点的拟合值。

我对numpy（我通常在R中工作）并不十分熟悉，所以可能有更简洁的方法来计算你的R平方，但以下应该是正确的

import numpy

# Polynomial Regression
def polyfit(x, y, degree):
    results = {}

    coeffs = numpy.polyfit(x, y, degree)

     # Polynomial Coefficients
    results['polynomial'] = coeffs.tolist()

    # r-squared
    p = numpy.poly1d(coeffs)
    # fit values, and mean
    yhat = p(x)                         # or [p(z) for z in x]
    ybar = numpy.sum(y)/len(y)          # or sum(y)/len(y)
    ssreg = numpy.sum((yhat-ybar)**2)   # or sum([ (yihat - ybar)**2 for yihat in yhat])
    sstot = numpy.sum((y - ybar)**2)    # or sum([ (yi - ybar)**2 for yi in y])
    results['determination'] = ssreg / sstot

    return results

Answer 3

来自yanl（还有另一个库）sklearn.metrics有一个r2_square函数;

from sklearn.metrics import r2_score

coefficient_of_dermination = r2_score(y, p(x))

Answer 4

我一直在成功使用它，其中x和y类似于数组。

def rsquared(x, y):
    """ Return R^2 where x and y are array-like."""

    slope, intercept, r_value, p_value, std_err = scipy.stats.linregress(x, y)
    return r_value**2

Answer 5

我最初发布下面的基准是为了推荐numpy.corrcoef，愚蠢地没有意识到原始问题已经使用corrcoef并且实际上是在询问更高阶多项式拟合。我已经使用statsmodels为多项式r-squared问题添加了一个实际的解决方案，并且我已经离开了原始的基准测试，这些基准测试虽然偏离主题，但对某些人来说可能是有用的。

statsmodels能够直接计算多项式拟合的r^2，这里有两种方法......

import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

# Construct the columns for the different powers of x
def get_r2_statsmodels(x, y, k=1):
    xpoly = np.column_stack([x**i for i in range(k+1)])    
    return sm.OLS(y, xpoly).fit().rsquared

# Use the formula API and construct a formula describing the polynomial
def get_r2_statsmodels_formula(x, y, k=1):
    formula = 'y ~ 1 + ' + ' + '.join('I(x**{})'.format(i) for i in range(1, k+1))
    data = {'x': x, 'y': y}
    return smf.ols(formula, data).fit().rsquared # or rsquared_adj

为了进一步利用statsmodels，还应该查看拟合的模型摘要，该摘要可以在Jupyter / IPython笔记本中打印或显示为丰富的HTML表格。除了rsquared之外，结果对象还提供对许多有用的统计指标的访问。

model = sm.OLS(y, xpoly)
results = model.fit()
results.summary()

以下是我的原始答案，其中我对各种线性回归r ^ 2方法进行了基准测试...

问题中使用的corrcoef函数仅针对单个线性回归计算相关系数r，因此它不能解决高阶多项式r^2的问题适合。然而，对于它的价值，我发现对于线性回归，它确实是计算r的最快和最直接的方法。

def get_r2_numpy_corrcoef(x, y):
    return np.corrcoef(x, y)[0, 1]**2

这是我通过比较1000个随机（x，y）点的一系列方法得出的时间结果：

纯Python（直接r计算）
- 1000次循环，最佳3：每循环1.59 ms
Numpy polyfit（适用于n次多项式拟合）
- 1000次循环，每次循环最佳3：326μs
Numpy手册（直接r计算）
- 10000次循环，最佳3次：每循环62.1μs
Numpy corrcoef（直接r计算）
- 10000次循环，最佳3次：每循环56.6μs
Scipy（以r为输出的线性回归）
- 1000次循环，最佳3：676μs/循环
Statsmodels（可以做n次多项式和许多其他拟合）
- 1000次循环，最佳3次：每循环422μs

corrcoef方法使用numpy方法以“手动”方式勉强计算r ^ 2。它比polyfit方法快5倍，比scipy.linregress快约12倍。只是为了加强numpy为你做的事情，它比纯蟒蛇快28倍。我不熟悉像numba和pypy这样的东西，所以其他人不得不填补这些空白，但我认为我很有说服力corrcoef是计算r的最佳工具用于简单的线性回归。

这是我的基准测试代码。我从Jupyter笔记本上复制粘贴（很难不称它为IPython笔记本......），所以如果有什么事情发生，我道歉。％timeit magic命令需要IPython。

import numpy as np
from scipy import stats
import statsmodels.api as sm
import math

n=1000
x = np.random.rand(1000)*10
x.sort()
y = 10 * x + (5+np.random.randn(1000)*10-5)

x_list = list(x)
y_list = list(y)

def get_r2_numpy(x, y):
    slope, intercept = np.polyfit(x, y, 1)
    r_squared = 1 - (sum((y - (slope * x + intercept))**2) / ((len(y) - 1) * np.var(y, ddof=1)))
    return r_squared

def get_r2_scipy(x, y):
    _, _, r_value, _, _ = stats.linregress(x, y)
    return r_value**2

def get_r2_statsmodels(x, y):
    return sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit().rsquared

def get_r2_python(x_list, y_list):
    n = len(x)
    x_bar = sum(x_list)/n
    y_bar = sum(y_list)/n
    x_std = math.sqrt(sum([(xi-x_bar)**2 for xi in x_list])/(n-1))
    y_std = math.sqrt(sum([(yi-y_bar)**2 for yi in y_list])/(n-1))
    zx = [(xi-x_bar)/x_std for xi in x_list]
    zy = [(yi-y_bar)/y_std for yi in y_list]
    r = sum(zxi*zyi for zxi, zyi in zip(zx, zy))/(n-1)
    return r**2

def get_r2_numpy_manual(x, y):
    zx = (x-np.mean(x))/np.std(x, ddof=1)
    zy = (y-np.mean(y))/np.std(y, ddof=1)
    r = np.sum(zx*zy)/(len(x)-1)
    return r**2

def get_r2_numpy_corrcoef(x, y):
    return np.corrcoef(x, y)[0, 1]**2

print('Python')
%timeit get_r2_python(x_list, y_list)
print('Numpy polyfit')
%timeit get_r2_numpy(x, y)
print('Numpy Manual')
%timeit get_r2_numpy_manual(x, y)
print('Numpy corrcoef')
%timeit get_r2_numpy_corrcoef(x, y)
print('Scipy')
%timeit get_r2_scipy(x, y)
print('Statsmodels')
%timeit get_r2_statsmodels(x, y)

Answer 6

关于r-squareds的维基百科文章表明它可能用于一般模型拟合而不仅仅是线性回归。

Answer 7

R平方是一个仅适用于线性回归的统计量。

基本上，它衡量的是数据的变化可以用线性回归来解释。

因此，您计算“平方总和”，即每个结果变量与平均值的总平方偏差。。

\ sum_ {i}（y_ {i} - y_bar）^ 2

其中y_bar是y的平均值。

然后，你计算“回归平方和”，即你的FITTED值与平均值的差异

\ sum_ {i}（yHat_ {i} - y_bar）^ 2

找到这两者的比例。

现在，你需要做的多项式拟合就是从该模型中插入y_hat，但是调用r平方并不准确。

Here是我发现的一个链接。

Answer 8

这是一个用Python和Numpy计算加权 r平方的函数（大部分代码来自sklearn）：

from __future__ import division 
import numpy as np

def compute_r2_weighted(y_true, y_pred, weight):
    sse = (weight * (y_true - y_pred) ** 2).sum(axis=0, dtype=np.float64)
    tse = (weight * (y_true - np.average(
        y_true, axis=0, weights=weight)) ** 2).sum(axis=0, dtype=np.float64)
    r2_score = 1 - (sse / tse)
    return r2_score, sse, tse

示例：

from __future__ import print_function, division 
import sklearn.metrics 

def compute_r2_weighted(y_true, y_pred, weight):
    sse = (weight * (y_true - y_pred) ** 2).sum(axis=0, dtype=np.float64)
    tse = (weight * (y_true - np.average(
        y_true, axis=0, weights=weight)) ** 2).sum(axis=0, dtype=np.float64)
    r2_score = 1 - (sse / tse)
    return r2_score, sse, tse    

def compute_r2(y_true, y_predicted):
    sse = sum((y_true - y_predicted)**2)
    tse = (len(y_true) - 1) * np.var(y_true, ddof=1)
    r2_score = 1 - (sse / tse)
    return r2_score, sse, tse

def main():
    '''
    Demonstrate the use of compute_r2_weighted() and checks the results against sklearn
    '''        
    y_true = [3, -0.5, 2, 7]
    y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]
    weight = [1, 5, 1, 2]
    r2_score = sklearn.metrics.r2_score(y_true, y_pred)
    print('r2_score: {0}'.format(r2_score))  
    r2_score,_,_ = compute_r2(np.array(y_true), np.array(y_pred))
    print('r2_score: {0}'.format(r2_score))
    r2_score = sklearn.metrics.r2_score(y_true, y_pred,weight)
    print('r2_score weighted: {0}'.format(r2_score))
    r2_score,_,_ = compute_r2_weighted(np.array(y_true), np.array(y_pred), np.array(weight))
    print('r2_score weighted: {0}'.format(r2_score))

if __name__ == "__main__":
    main()
    #cProfile.run('main()') # if you want to do some profiling

输出：

r2_score: 0.9486081370449679
r2_score: 0.9486081370449679
r2_score weighted: 0.9573170731707317
r2_score weighted: 0.9573170731707317

这对应于formula（mirror）：

f_i是拟合的预测值，y_ {av}是观测数据的平均值y_i是观测数据值。 w_i是应用于每个数据点的权重，通常为w_i = 1。 SSE是由于误差引起的平方和，SST是平方的总和。

如果有兴趣，R中的代码：https://gist.github.com/dhimmel/588d64a73fa4fef02c8f（mirror）

Answer 9

这是一个非常简单的python函数，它假设y和y_hat为熊猫系列，根据实际值和预测值计算R ^ 2：

def r_squared(y, y_hat):
    y_bar = y.mean()
    ss_tot = ((y-y_bar)**2).sum()
    ss_res = ((y-y_hat)**2).sum()
    return 1 - (ss_res/ss_tot)

Answer 10

来自scipy.stats.linregress源。他们使用平均平方和法。

import numpy as np

x = np.array(x)
y = np.array(y)

# average sum of squares:
ssxm, ssxym, ssyxm, ssym = np.cov(x, y, bias=1).flat

r_num = ssxym
r_den = np.sqrt(ssxm * ssym)
r = r_num / r_den

if r_den == 0.0:
    r = 0.0
else:
    r = r_num / r_den

    if r > 1.0:
        r = 1.0
    elif r < -1.0:
        r = -1.0

Answer 11

您可以直接执行此代码，这将为您找到多项式，并为您找到R值。如果您需要更多说明，可以在下面添加注释。

from scipy.stats import linregress
import numpy as np

x = np.array([1,2,3,4,5,6])
y = np.array([2,3,5,6,7,8])

p3 = np.polyfit(x,y,3) # 3rd degree polynomial, you can change it to any degree you want
xp = np.linspace(1,6,6)  # 6 means the length of the line
poly_arr = np.polyval(p3,xp)

poly_list = [round(num, 3) for num in list(poly_arr)]
slope, intercept, r_value, p_value, std_err = linregress(x, poly_list)
print(r_value**2)

如何使用Python和Numpy计算r平方？

11 个答案: