Question

给定 k 正整数a ₁＆lt; a ₂＆lt; a ₃＆lt; ......＆lt; a _k，以及大于_k的所有整数，我们要检查集合A = {a _i：i∈[1， k]}∪{n：n＆gt; a _k，n∈ℕ} = {a ₁，₂，₃，...， a _k，_k + 1，_k +2，...}在加法时关闭。这意味着：

Σ_1≤i≤k a _i * b _i∈A，对于任何非负整数b _{i < /子>}

例如，{2,4,6,7,8，....}在添加时关闭。

有没有简单的方法可以做到这一点？我们可以在Mathematica或Matlab中使用的任何函数吗？

Answer 1

如果小于 k 的不连续部分不大，我相信你可以直接接近它：

a = {2, 4, 6};
Tr /@ Subsets[a, {2}];
TakeWhile[%, # < Last@a &];
Complement[%, a] === {}

Answer 2

平庸观察：任何具有操作数>= a_k的总和都是A的成员，因此您只需要关注两个操作数来自集合B = {a_1 .. a_(k-1)}的总和。伪代码的天真解决方案：

for i from k-1 down to 1
  for j from i down to 1
    if (a_i + a_j < a_k) and (a_i + a_j is not in B) then
      return false
return true

Answer 3

您最近对此问题的修改使其变得荒谬。我注意到：

a_1到a_k都是严格正整数
该集合的其余成员严格大于a_k，因此也严格为正整数

因此，该集合的所有成员都是严格正整数。

但∑a_i*n_i ∈ A显然不适用于所有非负整数n_i。

具体来说，它不适用于n_i = 0，因为总和为零，零不是严格正整数，因此不是该集合的成员。

现在，这是一个非常奇怪的“闭集”定义，而不是普遍接受的用法。但根据您的定义，对于任何k > 0，该集合都不会关闭。

如何使用计算机代码检查无限集是否已关闭？

3 个答案: