为什么这个pde给出了Boundary并且初始条件是不一致的错误？ （1D热pde）

Question

过去20分钟我一直盯着这个简单的pde而且无法找到我收到此错误的原因

Boundary and initial conditions are inconsistent

这是标准的1D热方程

 eq = Derivative[2, 0][u][x, t] == Derivative[0, 1][u][x, t]

和边界条件是（注意它们都是空间导数）

u'(0,t)=0     (derivative here w.r.t.  x )
u'(Pi,t)=0    (derivative here w.r.t.  x )

并且初始条件是

u(x,0) = cos(2 x) 

因此，在初始条件下u'(x,0) = -2 sin(2 x)，x=0和x=Pi均为零。

所以在我看来，这与边界条件一致，对吧？或者我错过了什么？

以下是Mathematica的实际代码：

ClearAll[u, x, t]
eq = Derivative[2, 0][u][x, t] == Derivative[0, 1][u][x, t]

sol = NDSolve[{eq, 
               Derivative[1, 0][u][0, t] == 0, 
               Derivative[1, 0][u][Pi, t] == 0, 
               u[x, 0] ==  Cos[2 x]}, 
               u, {t, 0, 12}, {x, 0, Pi}
              ]

我有一种感觉，因为它是一个数值求解器，使用上面的Pi，变为Real Pi = 3.1415 ......所以在这个值的初始和边界条件不匹配？ （在某处浮点比较？）

我知道从帮助ref/message/NDSolve/ibcinc解决这样一个错误的诀窍，但我的问题是为什么我首先得到这个错误，因为从表面看来，它们是一致的。如果是由于Pi的浮点问题，那么如何解决这个问题呢？我试图使用帮助中显示的技巧（即使用exp（-1000 t）但没有帮助消除此错误。

问题：为什么我收到此错误消息？

版本8.04，在Windows上。

实际上我一直试图在这里显示这个解决方案（也使用Mathematica）

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Heatequation_exampleB.gif

但是上面例子中显示的BC和IC也给了我这个错误，所以我在BC做了改变，希望它们现在变得一致。

感谢。

修改（1）

以下是我用于绘制解决方案图的命令，看起来没问题

eq = Derivative[2, 0][u][x, t] == Derivative[0, 1][u][x, t]
sol = u /. 
  First@NDSolve[{eq, Derivative[1, 0][u][0, t] == 0, 
     Derivative[1, 0][u][Pi, t] == 0, u[x, 0] ==  Cos[2 x]}, 
    u, {t, 0, 1.5}, {x, 0, Pi}]
Animate[Plot[sol[x, t], {x, 0, Pi}, 
  PlotRange -> {{0, Pi}, {-1, 1}}], {t, 0, 1.5}]

修改（3）

我仍然有点困惑（也没有咖啡，这没有帮助）。

我改变了IC，使其不再是衍生物，因此IC（非衍生物）现在与BC的同意（但这些是作为衍生物保存）。但我仍然得到同样的错误：

eq = Derivative[2, 0][u][x, t] == Derivative[0, 1][u][x, t]
sol = u /. 
  First@NDSolve[{eq, 
                 Derivative[1, 0][u][0, t] == 0, 
                 Derivative[1, 0][u][Pi, t] == 0, 
                 u[x, 0] == Sin[2 x]}, 
                 u, {t, 0, 1.5}, {x, 0, Pi}
                ]

NDSolve::ibcinc: Warning: Boundary and initial conditions are inconsistent. >>

绘制

时，解决方案也显示正常

Animate[Plot[sol[x, t], {x, 0, Pi}, 
  PlotRange -> {{0, Pi}, {-1, 1}}], {t, 0, 1.5}]

这个问题需要什么IC来消除这个问题，或者是否必须使用必要的BC？并且还使用了非衍生IC，只有在那之后，我才担心一致性部分？

Answer 1

Szabolcs给出了正确的提示（参见http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/NDSolvePDE.html中的不一致边界条件部分）

eq = Derivative[2, 0][u][x, t] == Derivative[0, 1][u][x, t]
sol = u /. 
  First@NDSolve[{eq, Derivative[1, 0][u][0, t] == 0, 
     Derivative[1, 0][u][Pi, t] == 0, u[x, 0] == Cos[2 x]}, 
    u, {t, 0, 1.5}, {x, 0, Pi}, 
    Method -> {"MethodOfLines", 
      "SpatialDiscretization" -> {"TensorProductGrid", 
        "MinPoints" -> 100}}]

我已提出建议，将教程的链接添加到NDSolve :: ibcinc消息页面。