Question

我看到这篇文章：Finding even numbers in an array我正在思考如何在没有反馈的情况下做到这一点。这就是我的意思。

给定一个长度为n的数组，其中包含最多e偶数和a 函数isEven如果输入是偶数和假，则返回true 否则，写一个打印所有偶数的函数使用isEven调用次数最少的数组。

这篇文章的答案是使用二进制搜索，这很整洁，因为它并不意味着数组必须按顺序排列。如果数字为偶数，则必须e log n代替n因为您进行二分搜索（log n）以便每次都找到一个偶数（{{1}时间）。

但是这个想法意味着你将数组分成两半，测试均匀度，然后根据结果决定保留哪一半。

我的问题是你是否可以在一个固定的测试计划上打e个电话，你可以在不知道结果的情况下检查你想要的所有数字，然后找出偶数后的数字。我们根据结果完成了所有测试。所以我想这不是反馈或盲目或类似的术语。

我有一段时间没想过这件事，也无法想出任何东西。二元搜索的想法在这个约束下根本不起作用，但也许其他的东西呢？即使是n来电而不是n/2（是的，我知道他们是同一个大O）也不错。

Answer 1

“无反馈或盲目”的技术术语是“非适应性”。 O（e log n）调用仍然足够，但算法更加复杂。

我们不是测试产品的均匀度，而是测试总和的均匀度。设E≠F是{1，...，n}的不同子集。如果我们有一个数组x ₁，...，x _n在位置E处有偶数，而另一个数组y ₁，...，y _n在位置F处具有偶数，{1，...，n}的子集J满足

（J x _i中的Σ_{i）mod 2≠（J} y _i中的Σ_{i） mod 2？}

答案是2 ^n-1。设i是一个索引，使得x _i mod 2≠y _i mod 2.设S是{1，...，i - 1，i + 1的子集， ...... n。 J = S是解决方案或J = S union {i}是解决方案，但不是两者。

对于每个可能的结果E，我们需要进行消除所有其他可能结果的调用F.假设我们随机进行2e log n个调用。对于每对E≠F，我们仍然不能将E与F区分开的概率是（2 ^n-1 / 2 ⁿ）^{2e log n} = n ^-2e，因为有2个ⁿ可能的调用，只有2个^n-1无法区分。 E最多有n ^e + 1个选择，因此最多（n ^e + 1）n ^e / 2对。通过联合约束，存在一些不可区分对的概率最多为n ^-2e（n ^e + 1）n ^e / 2 ＆LT; 1（假设我们正在研究e≥1且n≥2的有趣情况），因此存在一系列2e log n次调用来完成工作。

请注意，虽然我使用随机性来表明存在一个良好的调用序列，但结果算法是 deterministic （当然，也是非自适应的，因为我们选择了没有结果的知识）。

Answer 2

您可以使用Chinese Remainder Theorem执行此操作。我要稍微改变你的记谱法。

假设您有N个，其中E个偶数。选择一系列不同的素数q1,q2,...,qk，使其产品至少为N^E，即

 qi = pi^ei

其中pi为素数，ei > 0为整数且

 q1 * q2 * ... * qk >= N^E

现在制作一堆0-1矩阵。让Mi成为qi x N矩阵，其中r行和c行中的条目1 c = r mod qi和0 } 除此以外。例如，如果qi = 3^2，则行2在其他地方的列2, 11, 20, ... 2 + 9j和0中都有。

现在垂直堆叠这些矩阵以获得Q x N矩阵M，其中Q = q1 + q2 + ... + qk。 M行告诉您哪些数字相乘（非零位置）。这样可以提供总共需要测试均匀度的Q个产品。将每一行称为“试用”，如果该行的j列非空，则说“试验涉及j”。你需要的定理如下：

THEOREM：位置j中的数字即使且仅当涉及j的所有试验都是偶数时才是。

因此，您总共进行Q次试验，然后查看结果。如果您智能地选择素数，则Q应显着小于N。渐近结果表明您总是可以按照

的顺序获得Q

(2E log N)^2 / 2log(2E log N)

这个定理实际上是中国剩余定理的必然结果。我见过这个地方的唯一地方是Combinatorial Group Testing。显然，这个问题最初是在测试士兵从二战中回来治疗梅毒时出现的。

Answer 3

您遇到的问题是一种group testing形式的问题类型，目的是降低识别某组元素的成本（最高 d 一组 N 元素的元素。

正如您已经说过的，可以通过两个基本原则进行测试：

非自适应组测试，其中所有要执行的测试都是先验决定的。
自适应组测试，我们执行多项测试，将每项测试基于之前测试的结果。显然，与非自适应测试相比，自适应测试有可能降低成本。

已对两项原则的理论界限进行了研究，并提供in this Wiki article或this paper。

对于自适应测试，上限为 O(d*log(N)) （如this answer中所述）。
< / LI>
对于非自适应测试，可以显示上限是 O(d*d/log(d)*log(N)) ，这明显大于上限自适应测试的因子为d/log(d)。

非自适应测试的上限来自使用disjunct matrices的算法：维度T x N的矩阵（“测试次数”x“元素数”），其中每个项目都可以要么为true（如果元素包含在测试中），要么为false（如果不包含），其属性为d列的任何子集必须与所有其他列至少有一行不同（test包含）。这允许线性解码时间（还有“d-separable”矩阵，其中需要较少的测试，但是它们解码的时间复杂度是指数级的，而不是计算可行的。）

<强>结论：

我的问题是你是否可以在固定测试计划上打n次电话[...]

对于这样的方案和足够大的N值，可以构造一个小于K * [d*d/log(d)*log(N)]行的析取矩阵。所以，对于N的大值，是的，你可以击败它。

Answer 4

潜在的问题（挑战）有点愚蠢。如果二进制搜索答案是可接受的（它将子数组相加并将它们发送到IsEven）那么我可以想办法用E或更少的IsEven调用（假设数字当然是整数）。

JavaScript演示

// sort the array by only the first bit of the number
A.sort(function(x,y) { return (x & 1) - (y & 1); });
// all of the evens will be at the beginning
for(var i=0; i < E && i < A.length; i++) {
    if(IsEven(A[i]))
        Print(A[i]);
    else
        break;
}

Answer 5

不完全是一个解决方案，但只是一些想法。

很容易看出，如果阵列长度为n的解决方案需要少于n次测试，则对于任何数组长度m> 1。很容易看出，总有一种解决方案的测试时间少于m次。所以，如果你有n = 2或3或4的解决方案，那么问题就解决了。
你可以将数组拆分成数字对和每对：如果总和是奇数，那么其中只有一个是偶数，否则如果其中一个是偶数，那么它们都是偶数。对于每对，这种方式需要一次或两次测试。最佳案例：n / 2次测试，更糟糕的情况：n次测试，如果选择偶数和奇数，则：3n / 4次测试。

我的预感是没有少于n次测试的解决方案。不知道如何证明它。

更新：第二种解决方案可以通过以下方式进行扩展。

检查两个数字的总和是否为偶数。如果奇怪，那么其中只有一个是偶数。否则将该组标记为“大小为2的同类组”。取两个相同大小的“同质集”n。从每组中选择一个数字并检查它们的总和是否均匀。如果是偶数，则将这两组合并为“均匀的2n大小”。否则，它意味着其中一个集合纯粹由偶数组成，另一个纯粹由奇数组成。

最佳案例：n / 2次测试。平均情况：3 * n / 2。最坏的情况仍然是n。只有当所有数字都是偶数或所有数字都是奇数时，才会出现最坏情况。

Answer 6

如果我们可以添加和乘法数组元素，那么我们可以在低位上计算每个布尔函数（直到补码）。模拟一个编码偶数位置的电路，编号为0到nC0 + nC1 + ... + nCe - 1用二进制表示，并使用isEven调用来读取这些位。

使用的呼叫数量：信息理论最优中的1个。

另见fully homomorphic encryption。

在不使用反馈的情况下查找数组中的偶数

6 个答案: