Question

背景：

给予n球以下：

'a' balls are of colour GREEN
'b' balls are of colour BLUE
'c' balls are of colour RED
...

（当然a + b + c + ... = n）

可以排列这些球的排列数由下式给出：

perm = n! / (a! b! c! ..)

问题1：我如何“优雅地”计算perm以避免整数溢出尽可能长，并确保当我完成计算时，我要么具有正确的值{ {1}}，或者知道最终结果会溢出吗？

基本上，我想避免使用像GNU GMP这样的东西。

可选，问题2：这是真的坏主意，我应该继续使用GMP吗？

Answer 1

这些被称为多项系数，我将用m(a,b,...)表示。

你可以通过利用这个身份（这应该很容易证明）来有效地计算它们以避免溢出：

m(a,b,c,...) = m(a-1,b,c,...) + m(a,b-1,c,...) + m(a,b,c-1,...) + ...
m(0,0,0,...) = 1 // base case
m(anything negative) = 0 // base case 2

然后使用递归来计算系数是一件简单的事情。请注意，为了避免指数运行时间，您需要缓存结果（以避免重新计算）或使用动态编程。

要检查溢出，只需确保总和不会溢出。

是的，使用任意精度库来完成这个简单的任务是一个非常糟糕的主意。

Answer 2

如果你有大量的cpu时间，你可以从所有因子中做出列表，然后找到列表中所有数字的素数因子分解，然后取消顶部的所有数字与底部的数字，直到数字完全减少了。

Answer 3

溢出最安全的方式是戴夫建议的方式。您可以通过求和找到素数p除以n!的指数

m = n;
e = 0;
do{
    m /= p;
    e += m;
}while(m > 0);

在p的因子分数中减去a!的指数等。对所有素数<= n执行此操作，并且您具有多项式系数的因子分解。当且仅当最终结果溢出时，该计算才会溢出。但是多项系数增长得相当快，所以对于相当小的n，你已经有了溢出。对于大量计算，您将需要一个bignum库（如果您不需要精确的结果，使用double可以使用更长的时间）。

即使你使用了一个bignum库，也值得保持中间结果不会太大，所以不要计算阶乘和分割大数，最好按顺序计算部分，

n!/(a! * b! * c! * ...) = n! / (a! * (n-a)!) * (n-a)! / (b! * (n-a-b)!) * ...

并计算这些因素中的每一个，让我们以第二个为例进行说明，

(n-a)! / (b! * (n-a-b)!) = \prod_{i = 1}^b (n-a+1-i)/i

用

计算

prod = 1
for i = 1 to b
    prod = prod * (n-a+1-i)
    prod = prod / i

最后将这些部分相乘。这需要n次除法和n + number_of_parts - 1次乘法，保持中间结果适度小。

Answer 4

根据this link，你可以计算多项系数作为几个二项式系数的乘积，控制整数溢出。

这将原始问题减少为二项式系数的溢出控制计算。

Answer 5

符号：n! = prod(1,n)你可能猜到了什么。

这很容易，但首先你必须知道，对于任何2个正整数(i, n > 0)，表达式是一个正整数：

prod(i,i+n-1)/prod(1,n)

因此，我们的想法是将n!的计算切片为小块并尽快划分。

使用a，而不是使用b等等。

perm = (a!/a!) * (prod(a+1, a+b)/b!) * ... * (prod(a+b+c+...y+1,n)/z!)

这些因素中的每一个都是整数，因此如果perm不会溢出，则其中任何一个因素都不会溢出。

虽然，在计算这样一个因子时，可能是分子或分母的溢出但是可以避免在分子中进行乘法，然后是交替的除法：

prod(a+1, a+b)/b! = (a+1)(a+2)/2*(a+3)/3*..*(a+b)/b

这样每个分区都会产生一个整数。

重复排列：避免溢出

5 个答案: