Question

我需要知道以前是否已经研究过以下问题：

让我们有一个有向无环图G.图是连通的，它只有一个源顶点（没有输入节点）和恰好一个宿顶点（没有输出节点）。

每个顶点都以美元和颜色分配了非负价格。

目标是找到从开始到水槽的步行，最大化访问边缘的价格总和。

问题是，只有在第一次访问特定颜色的顶点时才会收到价格。例如，当我们使用价格为1的红色顶点，然后是带有$ 2的蓝色顶点然后是带有$ 30的红色，总价格是$ 3.

我特定问题的大致尺寸：50000个顶点，3000种颜色，从开始到下沉的典型步行长度约为200个边缘。

             ------>[B red $1]---                   ---->[E red $1]----
            /                    \                 /                   \
[A black $0]                      ==>[D black $0]==                     ==>[G black $0]
            \                    /                 \                   /
             ---->[C green $2]---                   ->[F green $1000]--

Answer 1

这是考虑动态图形的最短路径问题的一个很好的变体，即随着时间的推移而变化的图形（当你离源更远时，边缘权重会发生变化）。 Dijkstra's algorithm将解决它，因为边缘的权重是在你去的时候计算的，所以边缘权重根据你去过的地方而不同并不重要。这是维基百科的描述，其中考虑了粗体颜色变化问题：

让我们开始的节点称为初始节点。让   节点Y的距离是从初始节点到Y的距离。   Dijkstra的算法将分配一些初始距离值并且将会   尝试逐步改进它们。



为每个节点分配一个暂定距离值：为我们的初始节点设置为零，为所有其他节点设置为无穷大。



标记未访问的所有节点。将初始节点设置为当前节点。创建一组称为未访问集的未访问节点   由除初始节点之外的所有节点组成。



对于当前节点，考虑所有未访问的邻居并计算其暂定距离。 现在这取决于到目前为止所选择的路径。例如，如果是当前的   节点A标记为距离为6，边缘连接它   邻居B的长度为2 基于有色权重，那么到目前为止通过路径到B 的距离将是   6 + 2 = 8。如果此距离小于先前记录的距离，   然后覆盖那个距离。即使是邻居也是如此   经检查，此时未标记为已访问，并且仍然存在   未经审查的集合。



当我们考虑当前节点的所有邻居时，将当前节点标记为已访问并将其从   未经审查的集合。永远不会再次检查受访节点;它的   现在记录的距离是最终的，最小的。



如果目标节点已标记为已访问，则停止。算法已经完成。



将标记有最小暂定距离的未访问节点设置为下一个“当前节点”，然后返回步骤3.

Nannicini和Liberti对Shortest paths on dynamic graphs进行了很好的调查。

Answer 2

如果我正确理解了这个问题，可以在O（ E ）时间内解决，如下所示。让我们从正式定义其解决方案开始。

鉴于DAG G =（ V ， E ），让FS（ i ）成为< em>顶点顶点 i ：

E 中的
FS（ i ）= {（ x ， y ）： x < / em> = i }

让 C 到目前为止所访问的顶点颜色集合，让p [ i ]和c [ i ]分别为顶点的价格和颜色 i ;现在定义奖励 r 从顶点 i 到属于FS的顶点 j （ i < / em>）as

r [ i ， j ] = p [ j ]如果c [ j ]不属于到 C

否则r [ i ， j ] = 0（如果c [ j ]属于 C ）

我们现在准备如下定义我们的子问题：

i ， j ， C ）= max k 属于FS（ i ）{r [ i ， k ] + D（ k ， j ， C union {c [ k ]}}}

使用D（ i ， i ， C ）= 0作为终止条件（当我们到达汇聚节点时需要）

首先要解决的问题是D（ s ， t ，{c [ s ]}）其中 s 和 t 分别是源顶点和汇点顶点：

（ s ， t ，{c [ s ]}）= max k 属于FS（ s ）{r [ s ， k ] + D（ k ， t ，{c [ s ]} union {c [ k ]}}}

要解决此问题，请使用与顶点前向星相对应的邻接列表存储DAG。然后从源顶点开始，确定与考虑颜色约束的所有路径关联的成本。由于您基本上是在探索顶点的前向星并且永远不会返回，因此总体复杂度为O（ E ），使用哈希表来表示集合，因此插入颜色和成员资格测试需要O （1）平均时间。我所谓的 union 实际上是一个 insert 操作（每次执行单例集合时，结果都是相同的。）

Answer 3

有趣的问题。它是NP难的，但与任何近似算法文献的经典都没有相似之处。

通过示例证明集合封面实例{{1,2,3}，{2,4}，{3,4}，{4,5}}的缩减。所有边缘都朝下。

 s:$0
 | \
 |   \
 |     \
 |     1:$100
 |      |
!A:$1  2:$100
 |      |
 |     3:$100
 |     /
 |   /
 | /
 *:$0
 | \
 |   \
 |     \
 |     2:$100
!B:$1   |
 |     4:$100
 |     /
 |   /
 | /
 *:$0
 | \
 |   \
 |     \
 |     3:$100
!C:$1   |
 |     4:$100
 |     /
 |   /
 | /
 *:$0
 | \
 |   \
 |     \
 |     4:$100
!D:$1   |
 |     5:$100
 |     /
 |   /
 | /
 t:$0

我不知道是否有一个好的近似算法（这种减少不排除它）。使用单位流而不是路径的LP放松可能足以分支并开始工作。

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3 个答案: