Question

我有一个Mathematica代码，我必须在数字上评估数千个与此类似的积分

NIntegrate[
    (Pi*Cos[(Pi*(-2*x + y))/(1 + y)] + (1 + y)*(-Sin[(2*Pi*x)/(1 + y)] + 
    Sin[(Pi*(-2*x + y))/(1 + y)]))/(E^x*(1 + y)), 
    {x, 0, 100}, {y, 0, 100}
] //AbsoluteTiming

被积函数是一个很好的绝对可积的函数，没有奇点，它在一个方向上呈指数衰减，在另一个方向上以1 / y ^ 3衰减。

NIntegrate命令在Mathematica 7中运行正常，但在最新版本8.0.4中，它减慢了两个数量级。我假设在新版本中它试图更好地控制错误，但代价是时间的巨大增加。是否有一些我可以使用的设置，以便计算以与Mathematica 7相同的速度进行？

Answer 1

ruebenko 的回答以及来自 user1091201 和 Leonid 的评论结合在一起，可以给出正确答案。

ruebenko 的编辑1 回答是常规这类情况的正确答案，即添加选项{{1 }}：

Method -> {"SymbolicPreprocessing", "OscillatorySelection" -> False}

并且 user1091201 的评论建议expr = (Pi* Cos[(Pi*(-2*x + y))/(1 + y)] + (1 + y)*(-Sin[(2*Pi*x)/(1 + y)] + Sin[(Pi*(-2*x + y))/(1 + y)]))/(E^x*(1 + y)); NIntegrate[expr, {x, 0, 100}, {y, 0, 100}, Method -> {"SymbolicPreprocessing", "OscillatorySelection" -> False}] // AbsoluteTiming接近此特定问题的最快答案。

我将在这个具体示例中描述NIntegrate中发生的事情，并且一路上给出一些处理明显类似情况的提示。

方法选择

在这个例子中，NIntegrate检查Method -> "GaussKronrodRule"，得出结论多维＆＃34; LevinRule＆＃34;是这个被积函数的最佳方法，并应用它。然而，对于这个特殊的例子，＆＃34; LevinRule＆＃34;慢于＆＃34; MultidimensionalRule＆＃34; （尽管＆＃34; LevinRule＆＃34;得到更令人满意的误差估计）。＆＃34; LevinRule＆＃34;也比在两个维度上迭代的几个高斯型一维规则中的任何一个慢，例如＆＃34; GaussKronrodRule＆＃34; user1091201 找到了。

NIntegrate在对被积函数进行一些符号分析后做出决定。应用了几种类型的符号预处理;设置expr禁用一种符号预处理。

基本上，使用＆＃34; OscillatorySelection＆＃34;启用后，NIntegrate选择＆＃34; LevinRule＆＃34;。用＆＃34; OscillatorySelection＆＃34; NIntegrate选择＆＃34; MultidimensionalRule＆＃34;，这对于这个积分更快，尽管我们可能会根据消息NIntegrate :: slwcon不信任结果，这表示观察到异常缓慢的收敛。

这是Mathematica 8与Mathematica 7不同的部分：Mathematica 8增加了＆＃34; LevinRule＆＃34;和相关的方法选择试探法＆＃34; OscillatorySelection＆＃34;。

除了使NIntegrate选择不同的方法之外，禁用＆＃34; OscillatorySelection＆＃34;还节省了进行实际符号处理所花费的时间，这在某些情况下可能很重要。

设置Method -> {"SymbolicPreprocessing", "OscillatorySelection" -> False}覆盖并跳过与方法选择关联的符号处理，而是使用二维笛卡尔积规则Method -> "GaussKronrodRule"。这恰好是这种积分的一种非常快速的方法。

其他符号处理

ruebenko 的Method -> {"CartesianRule", Method -> {"GaussKronrodRule", "GaussKronrodRule"}}和 user1091201 ＆＃39; Method -> {"SymbolicPreprocessing", "OscillatorySelection" -> False}不会禁用其他形式的符号处理，这通常是件好事。有关可能应用的符号预处理类型的列表，请参阅this part of the NIntegrate advanced documentation。特别是＆＃34; SymbolicPiecewiseSubdivision＆＃34;由于存在分段函数，对于在几个点处非分析的积分非常有价值。

要禁用所有符号处理并仅使用默认方法选项获取默认方法，请使用Method -> "GaussKronrodRule"。对于一维积分，这当前等于Method -> {Automatic, "SymbolicProcessing" -> 0}，具有这些方法的所有参数的某些默认设置（规则中的插值点的数量，全局自适应策略的奇点处理的类型等）。对于多维积分，它当前等于Method -> {"GlobalAdaptive", Method -> "GaussKronrodRule"}，同样具有某些默认参数值。对于高维积分，将使用蒙特卡罗方法。

我不建议直接切换到Method -> {"GlobalAdaptive", Method -> "MultidimensionalRule"}作为NIntegrate的第一个优化步骤，但在某些情况下它可能很有用。

最快的方法

只有总是某种方式可以加速数值积分至少一点，有时候很多，因为有很多参数可以启发式选择，你可以从调整中受益。（查看"LevinRule" method或"GlobalAdaptive" strategy具有的不同选项和参数，包括所有子方法等。）

那就是说，这是我找到的最快的方法：

Method -> {Automatic, "SymbolicProcessing" -> 0}

（设置NIntegrate[(Pi* Cos[(Pi*(-2*x + y))/(1 + y)] + (1 + y)*(-Sin[(2*Pi*x)/(1 + y)] + Sin[(Pi*(-2*x + y))/(1 + y)]))/(E^x*(1 + y)), {x, 0, 100}, {y, 0, 100}, Method -> {"GlobalAdaptive", Method -> "GaussKronrodRule", "SingularityDepth" -> Infinity}] // AbsoluteTiming禁用奇点处理转换。）

整合范围

顺便提一下，您所需的集成范围是"SingularityDepth" -> Infinity，还是{x, 0, 100}, {y, 0, 100}是您应用的真正所需集成范围？

如果你真的需要{x, 0, Infinity}, {y, 0, Infinity}，我建议改用它。对于无限长度积分范围，NIntegrate将被积函数压缩到有限范围，有效地以几何间隔方式对其进行采样。这通常比用于有限积分范围的线性（均匀）间隔样本更有效。

Answer 2

这是一种解决方法：

NIntegrate[(Pi*
      Cos[(Pi*(-2*x + y))/(1 + y)] + (1 + y)*(-Sin[(2*Pi*x)/(1 + y)] +
         Sin[(Pi*(-2*x + y))/(1 + y)]))/(E^x*(1 + y)), {x, 0, 
   100}, {y, 0, 100}, 
  Method -> "AdaptiveMonteCarlo"] // AbsoluteTiming

您也可以使用ParallelTry并行测试各种方法。

在实施新方法或修改启发式方法时，可能会发生特定参数的减速。这些可能有助于解决一类新问题，而其他一些问题则变得更慢。人们必须仔细调查这里发生了什么。

您可能想要更改问题的主题 - 它表示所有积分在V8中评估较慢，这是不正确的。

修改1 ：我认为它被卡在LevinRule中（V8中用于振荡积分的新东西）所以，我认为，这应该关闭它。

NIntegrate[(Pi*
      Cos[(Pi*(-2*x + y))/(1 + y)] + (1 + y)*(-Sin[(2*Pi*x)/(1 + y)] +
         Sin[(Pi*(-2*x + y))/(1 + y)]))/(E^x*(1 + y)), {x, 0, 
   100}, {y, 0, 100}, 
  Method -> {"SymbolicPreprocessing", 
    "OscillatorySelection" -> False}] // AbsoluteTiming

Answer 3

对于这个特殊积分，主要罪魁祸首似乎是x上的积分，可能是由于存在快速衰减和高振荡项。此外，对于这种情况，可以通过分析x进行集成：

In[92]:= 
-Integrate[(Pi*Cos[(Pi*(-2*x+y))/(1+y)]+(1+y)*(-Sin[(2*Pi*x)/(1+y)]+Sin[(Pi*(-2*x+y))/(1+y)]))/
 (E^x*  (1+y)),x]/.x->0//FullSimplify

Out[92]= (-\[Pi] (1+y) (2+Cos[(\[Pi] y)/(1+y)])+(2 \[Pi]^2+(1+y)^2) Sin[(\[Pi] y)/(1+y)])/
(4 \[Pi]^2+(1+y)^2)

（我放弃了上限的值，因为它y一致非常小）。然后可以用y数字积分来获得正确的结果：

In[94]:= NIntegrate[%,{y,0,100}]
Out[94]= 1.17525

更一般的解决方法是将x和y集成分开，如下所示：

ClearAll[f];
f[y_?NumericQ, xrange : {_?NumericQ, _?NumericQ}] :=
  NIntegrate[(Pi*
   Cos[(Pi*(-2*x + y))/(1 + y)] + (1 + 
     y)*(-Sin[(2*Pi*x)/(1 + y)] + 
     Sin[(Pi*(-2*x + y))/(1 + y)]))/(E^x*(1 + y)), {x, First@xrange, Last@xrange}];

然后我们有：

In[105]:= NIntegrate[f[y,{0,100}],{y,0,100}]//Timing
Out[105]= {2.578,1.17525}

这不是很快，但速度相当快。这个过程并不总是能很好地工作（因为这个过程产生的2D集成网格并不总是最优），但是当被积函数高于x和{{1}时的积分时，它应该运行得很好充分“解耦”。

NIntegrate - 在给定的情况下，为什么Mathematica 8中的速度要慢得多？

3 个答案: