Question

我正在研究一个项目，其重点是使用术语重写来解决/简化固定大小的位向量算术问题，这对于某些决策过程的先前步骤（例如基于位的步骤）非常有用。 -爆破。术语重写可以解决问题，或者产生更简单的等效问题，因此两者的结合可以带来相当大的加速。

我知道许多SMT求解器实现了这种策略（例如Boolector，Beaver，Alt-Ergo或Z3），但很难找到详细描述这些重写步骤的论文/技术报告/等。一般来说，我只发现了作者在几段中描述这种简化步骤的论文。我想找一些文件详细解释术语重写的用法：提供规则的例子，讨论AC重写的便利性和/或其他等式公理，使用重写策略等。

目前，我刚刚找到了技术报告A Decision Procedure for Fixed-Width Bit-Vectors，其中描述了CVC Lite执行的规范化/简化步骤，我想找到更多像这样的技术报告！我还发现了一张关于Term rewriting in STP的海报，但这只是一个简短的总结。

我已经访问了那些SMT求解器的网站，我在他们的出版物页面中进行了搜索...

我很感激任何参考，或任何关于如何在当前版本的知名SMT求解器中使用术语重写的解释。我对Z3特别感兴趣，因为它看起来有一个最聪明的简化阶段。例如，Z3 3. *引入了一个新的位向量决策程序，但不幸的是，我找不到任何描述它的论文。

Answer 1

我同意你的看法。很难找到描述现代SMT求解器中使用的预处理步骤的论文。大多数SMT求解器开发人员都认为这些预处理步骤对于Bit-Vector理论非常重要。我认为这些技术的出版不是出于以下几个原因：大多数技巧本身并不是一项重要的科学贡献。大多数技术仅适用于特定系统的环境;一种似乎在求解器A上运行良好的技术，对解算器B不起作用。我相信拥有开源SMT求解器是解决这个问题的唯一方法。即使我们发布了特定求解器A中使用的技术，如果没有看到它的源代码，也很难重现求解器A的实际行为。

无论如何，这里是Z3执行的预处理的摘要，以及重要的细节。

若干简化规则可能会在本地减小此大小，但会在全局范围内增加。简化器必须避免由这种简化引起的内存爆炸。您可以在以下网址找到示例：http://research.microsoft.com/en-us/um/people/leonardo/mit2011.pdf
第一个简化步骤仅执行保持等效性的局部简化。示例：

2*x - x ->  x 
x and x -> x

接下来，Z3执行恒定传播。给定相等t = v，其中v是一个值。它用t替换v到处。

t = 0 and F[t]  -> t = 0 and F[0]

接下来，它对位矢量执行高斯消除。但是，只消除算术表达式中最多出现两次的变量。此限制用于防止公式中加法器和乘数的增加。例如，假设我们x = y+z+w和x出现在p(x+z)，p(x+2*z)，p(x+3*z)和p(x+4*z)。然后，在取消x后，我们会p(y+2*z+w)，p(y+3*z+w)，p(y+4*z+w)和p(y+5*z+w)。虽然我们删除了x，但我们有比原始公式更多的加法器。
接下来，它消除了无约束变量。 Robert Brummayer和Roberto Brutomesso的博士论文描述了这种方法。
然后，执行另一轮简化。这次，执行局部上下文简化。这些简化可能非常昂贵。因此，使用了要访问的最大节点数的阈值（默认值为1000万）。本地上下文简化包含诸如

(x != 0 or  y = x+1) ->  (x != 0 or y = 1)

接下来，它尝试使用分布式最小化乘数的数量。示例：

a b + a c - ＆gt; （B + C）* A

然后，它尝试通过应用关联性和可交换性来最小化加法器和乘数的数量。假设公式包含术语a + (b + c)和a + (b + d)。然后，Z3会将其重写为：(a+b)+c和(a+b)+d。在转换之前，Z3必须编码4个加法器。之后，只需要编码三个加法器，因为Z3使用完全共享的表达式。
如果公式仅包含相等，连接，提取和类似运算符。然后，Z3使用基于union-find和同余闭包的专用求解器。
否则，它会爆炸所有内容，使用AIG来最小化布尔公式，并调用其SAT求解器。

Answer 2

Z3使用重写来进行预处理期间执行的许多简化。用于UFBV策略的许多重写规则（带有量词）在下面的文章中有详细描述：

Wintersteiger, Hamadi, de Moura: Efficiently Solving Quantified Bit-Vector Formulas, FMCAD, 2010

在位向量算法的决策过程中使用术语重写

2 个答案: