Question

我在R集上有一个equivalence relation A。如何在A上构建等价类？它类似于groupBy，但在所有元素之间，不仅仅是邻居。

例如，equal是等价关系（它是自反，对称和传递二元关系）：

type Sometuple = (Int, Int, Int)

equal :: Sometuple -> Sometuple -> Bool
equal (_, x, _) (_, y, _) = x == y

它实际上是连接2个Sometuple元素的谓词。

λ> equal (1,2,3) (1,2,2)
True

那么，如何基于[Sometuple]谓词在equal上构建所有等价类？这样的事情：

equivalenceClasses :: (Sometuple -> Sometuple -> Bool) -> [Sometuple] -> [[Sometuple]]
λ> equivalenceClasses equal [(1,2,3), (2,1,4), (0,3,2), (9,2,1), (5,3,1), (1,3,1)]
[[(1,2,3),(9,2,1)],[(2,1,4)],[(0,3,2),(5,3,1),(1,3,2)]]

Answer 1

如果您可以定义兼容的订购关系，则可以使用

equivalenceClasses equal comp = groupBy equal . sortBy comp

会给你O(n*log n)复杂性。没有它，我认为没有任何方法可以获得比O(n^2)更好的复杂性，基本上

splitOffFirstGroup :: (a -> a -> Bool) -> [a] -> ([a],[a])
splitOffFirstGroup equal xs@(x:_) = partition (equal x) xs
splitOffFirstGroup _     []       = ([],[])

equivalenceClasses _     [] = []
equivalenceClasses equal xs = let (fg,rst) = splitOffFirstGroup equal xs
                              in fg : equivalenceClasses equal rst

Answer 2

这里使用的正确数据结构是disjoint set（Tarjan）。 Conchon and Filliâtre描述了这种结构的纯粹功能性，持久性实现。有一个实现on Hackage。

Answer 3

以下是丹尼尔建议的略微变化：

由于等价类对一组值进行分区（意味着每个值只属于一个类），因此可以使用值来表示其类。然而，在许多情况下，每个班级选择一个规范代表是很自然的。在您的示例中，您可以使用代表类(0,x,0)的{{1}}。因此，您可以按如下方式定义代表性函数：

{ (0,0,0), (0,0,1), (1,0,0), (1,0,1), (2,0,0), ... }

现在，根据定义，representative :: Sometuple -> Sometuple representative (_,x,_) = (0,x,0)与equal a b相同。因此，如果按代表对值列表进行排序 - 假设我们正在处理(representative a) == (representative b)的成员 - 那么同一等价类的成员最终会彼此相邻，并且可以按普通{{1}进行分组}。

您正在寻找的功能因此变为：

Ord

丹尼尔的建议是这种方法的概括。我基本上提出了一个特定的排序关系（即代表比较），可以在很多用例中轻松推导出来。

警告1：您需要确保根据groupBy和equivalenceClasses :: Ord a => (a -> a) -> [a] -> [[a]] equivalenceClasses rep = groupBy ((==) `on` rep) . sortBy (compare `on` rep)，相同/不同等同类的代表实际上是相等/不同的。如果这两个函数测试结构相等性，那么情况总是如此。

警告2：从技术上讲，你可以放宽(==)到

的类型

compare

Answer 4

其他人指出，如果不对等关系建立一些额外的结构，就很难有效地解决这个问题。如果回想起数学中的定义，则等价关系等效于商映射（即从您的集合到等价类的函数）。我们可以编写一个Haskell函数，该函数给出商图（或者它的同构图）以及它的共域的一些不错的属性，并通过等价关系进行分组。我们还可以基于商图定义等价。

import Data.Map

group :: Ord b => (a -> b) -> [a] -> [[a]]
group q xs = elems $ fromListWith (++) [(q x, [x]) | x <- xs]

sameClass :: Eq b => (a -> b) -> (a -> a -> Bool)
sameClass q a b = q a == q b

-- for your question
equal = sameClass (\(_,x,_) -> x)
group (\(_,x,_) -> x) [...]

Answer 5

以下解决方案在小数据上（运行时间在几秒钟内）的性能比Daniel Fischer快。它的工作原理是将元素逐一添加到等效类中，如果一个元素不属于任何现有元素，则创建一个新类。

module Classify where

import qualified Data.List as List

classify :: Eq a => [a] -> [[a]]
classify = classifyBy (==)

classifyBy :: (a -> a -> Bool) -> [a] -> [[a]]
classifyBy eq = List.foldl' f [ ]
  where
    f [ ] y = [[y]]
    f (xs@ (x: _): xss) y | x `eq` y  = (y: xs): xss
                          | otherwise = xs: f xss y

Answer 6

Turns out there is a similar function in GHC.Exts.

λ import GHC.Exts
λ groupWith snd [('a', 1), ('b', 2), ('c', 1)]
[[('a',1),('c',1)],[('b',2)]]

它要求你定义一个从你的类型到具有兼容类型的函数 Ord 其中 Eq 与您的等效概念一致。 （此处为snd。） 从本质上讲，您可以将此函数视为指向等价类集合的箭头，也称为商映射。

Thanks to Olaf for pointing out.

按等价关系列出的组列表

6 个答案: