Question

在编程竞赛中，一个问题是：

计算等式的所有解：x + 4y + 4z = n。你将会给定n，您将确定解决方案的数量。假设x，y和z是正整数。

我考虑过使用三重for循环（暴力），但效率不高，导致TIME LIMIT超出限制。（因为n可能= 1000,000）：

int sol = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
 for (int j = 1; j <= n / 4; j++)
 {
  for (int k = 1; k <= n / 4; k++)
   {
      if (i + 4 * j + 4 * k == n)
         sol++;
   }
 }
}

我的朋友可以解决问题。当我问他时，他说他根本没有使用蛮力。相反，他将等式转换为“系列”（即汇总）。我让他告诉我怎么，但他拒绝了。）

我可以知道吗？

Answer 1

这是coin change problem的特殊情况，通常通过动态编程解决。

但在这里我们可以详细说明解决方案。我认为x，y，z> 0

x + 4 *（y + z）= n 令y + z = q = p + 1（q> 1，p> 0）

X + 4 * Q = N

X + 4 * P = N-4

x和p有 M = Floor（（n-5）/ 4）变体，因此有M个可能的值 q = 2..M + 1 对于每个q> 1，存在y和z的（q-1）变体：q = 1 +（q-1）= 2 +（q-2）+ .. +（q-1）+1

所以我们 N = 1 + 2 + 3 + ... + M = M *（M + 1）/ 2 解决方案

示例：

n = 15;

M =（15-5）div 4 = 2

N = 3

（3,1,2），（3,2,1），（7,1,1）

Answer 2

首先请注意，n-x必须可以被4整除。首先找到x可以采用的最小值：

start = 4
while ((n - start) % 4 != 0)
{
    start = start + 1
}

从现在开始，您知道x将从[start, start+4, start+8 ...]获取值。现在，您可以通过简单的计数循环来计算解决方案的数量：

count = 0

for (x = start; x < n - 4; x = x + 4)
{
    y_z_sum = (n - x) / 4
    count = count + y_z_sum - 1
}

对于x的每个选项，我们都可以计算y+z的值。对于y+z的每个值，有y+z-1个可能的选择（因为y的范围从1到y+z-1，假设y和z是{{1}}两个正整数）。

代替O（n ³）运行时间的强力解决方案，您可以通过这种方式实现O（n）。

Answer 3

这是一个经典的线性代数问题。请参考任何关于如何求解线性方程组的线性代数教科书。一种这样的方法称为Gaussian Elimination。

避免蛮力：计算解决方案

3 个答案: