为什么这个逻辑陈述不能被证明？

Question

在下文中，我没有看到第二个陈述与第四个陈述有何不同。

我认为我们可以证明21是一个自然数，我们可以证明2是一个自然数。

你能解释为什么可以证明第二种陈述，第四种陈述不能或它们有何不同？谢谢。

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以下英文陈述是合乎逻辑的陈述：

• 0是自然数
• 2是自然数
• 对于所有 x ，如果 x 是一个自然数，那么 x 的后继者也是如此。
• 21是自然数

谓词演算：

 natural(0).
 natural(2).
 For all x, natural(x) → natural(successor(x))
 natural(21).

在这些逻辑陈述中，第一个和第三个可以被视为自然数的公理：假设为真的语句，并且所有关于自然数的真实陈述都可以证明即可。第二个陈述可以证明：

2 = successor(successor(0)) and natural(0) → natural(sucessor(0)) → natural(successor(successor(0))).

另一方面，第四个陈述不能从公理证明，因此可以假设是假的。

Answer 1

根据一些评论，我搜索了errata，其中natural(21)应为natural(-1)。所以这确实是一个错字。