关于离散数学的基本查询

Question

我的教授在pdf的幻灯片3上给出了一个例子：任何人都可以向我解释他最后是如何得到m_n = 2 ^（n） - 1.谢谢！

Answer 1

步骤来自

m _n = 2 ^n-1 +2 ^n-2 + ... + 2 ² + 2 + 1

到

m _n = 2 ⁿ - 1

有两种方法可以完成这一步骤。一种是将其识别为几何系列，并且知道规则：

总和=（1-R ^名词）/（1-R）

另一个是用2的力量来玩，知道如果你从1开始加起来一堆，你就得到下一个，减去一个。

Answer 2

sum of the first n terms of a geometric series有一个公式。

1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{n-1}
= (1 - 2^n) / (1 - 2)
= (1 - 2^n) / (-1)
= 1/(-1) - 2^n/(-1)
= 2^n - 1

Answer 3

这只是人们多年来所发现的series关系之一：

2^(n-1) + 2^(n-2) + ... + 2 + 1 == 2^n - 1

你可以把它想象成二进制数的总和：

  000001
  000010
  000100
  001000
+ 010000
  ------
  011111 == 1000000 - 1

Answer 4

实际上，

Mn=2^0+2^1+.........+2^(n-1)+2^(n-2)

是序列Nth的{​​{1}}字词 此Mk=.....术语本身是几何级数的总和，其第一项为Nth和1(2^0)。 这个common ratio=2是

sum(Mn)

其中a是第一项和r共同比率

  =a[(r^n)-1]/[r-1]