机器精度估算

Question

有人说双精度浮点数的机器epsilon是2 ^ -53而其他（更常见的）是2 ^ -52。我已经使用除了1之外的整数以及从上方和下方（在matlab中）进行估算来估计机器精度，并且已经获得两个值作为结果。为什么在实践中可以观察到这两个值？我认为应该总是在2 ^ -52左右产生一个epsilon。

Answer 1

术语“机器epsilon”存在固有的模糊性，因此要解决此问题，通常将其定义为1与下一个更大的可表示数字之间的差异。 （这个数字实际上（并非偶然）通过逐字递增二进制表示获得。）

IEEE754 64位浮点数有52个显式尾数位，因此53包括隐式前导1。所以连续两个数字是：

1.0000  .....  0000
1.0000  .....  0001
  \-- 52 digits --/

因此两者之间的差异是2 ^-52 。

Answer 2

这取决于你选择哪种方式。

1 + 2^-53恰好位于1和1 + 2^-52之间的中间位置，它们在双精度浮点数中是连续的。所以，如果你把它四舍五入，它就不同于1;如果你将它向下舍入，则等于1.

Answer 3

实际上有两种定义＆＃34;机器精度＆＃34;这听起来完全相同，但并非如此，因为它们会为机器epsilon产生不同的值：

1. 机器epsilon是最小的浮点数eps1，1.0 + x > 1.0。
2. 机器epsilon是差异eps2 = x - 1.0，其中x是x > 1.0的最小可表示浮点数。

严格来说，这些定义是等价的，即eps1 == eps2，但我们不是在谈论真正的数字，而是关于浮点数。这意味着隐式舍入和取消，这意味着近似地eps2 == 2 * eps2（至少在使用IEEE-754浮点数的最常见架构中）。

更详细地说，如果我们让某些x从0.0转到1.0 + x > 1.0的某个点，则会在x == eps1（根据定义1）达到此点。但是，由于综述，1.0 + eps1的结果不 1.0 + eps1，但下一个可表示的浮点值大于大于1.0 - 是，eps2（根据定义2）。所以，实质上，

eps2 == (1.0 + eps1) - 1.0

（数学家会对此感到畏缩。）并且由于舍入行为，这意味着

eps2 == eps1 * 2 (approximatively)

这就是为什么＆＃34;机器epsilon＆＃34;有两个定义，既合法又正确。

就个人而言，我发现eps2越多，越强大，越＃34;定义，因为它不依赖于实际的舍入行为，只取决于表示，但我不会说它比另一个更正确。一如既往，这一切都取决于背景。只要清楚你在谈论＆＃34;机器epsilon＆＃34;时使用的定义。防止混淆和错误。